Convergence de séries liées aux nombres de Pisot

On considère les deux suites réelles $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définies par :

u_n = \sin \left( \pi (2-\sqrt{3})^n \right)   \text{et}   v_n = \sin \left( \pi (2+\sqrt{3})^n \right)

Déterminer la nature des séries numériques $\sum u_n$ et $\sum v_n$ .

1.

Pour $u_n$ , effectuer un développement limité du sinus au voisinage de 0 en utilisant une comparaison avec une série géométrique.

2.

Pour $v_n$ , introduire la quantité $S_n = (2+\sqrt{3})^n + (2-\sqrt{3})^n$ et montrer que $S_n$ est un entier pair pour tout $n$ .

3.

Utiliser la périodicité du sinus pour relier $v_n$ à $u_n$ .

Idées clés

•

Comparaison locale (équivalents) pour les séries à termes positifs.

•

Utilisation des racines d'un polynôme à coefficients entiers (ici $X^2 - 4X + 1$ ).

•

Propriété de parité des sommes de puissances de racines.

1. Étude de la série $\sum u_n$ .

On remarque tout d'abord que $0 < 2 - \sqrt{3} < 1$ car $1,7 < \sqrt{3} < 1,8$ . Ainsi, la suite $((2-\sqrt{3})^n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers 0.

Par développement limité de la fonction sinus au voisinage de 0, nous obtenons :

u_n \sim \pi (2-\sqrt{3})^n

La série $\sum (2-\sqrt{3})^n$ est une série géométrique convergente car sa raison est strictement inférieure à 1 en valeur absolue. Par le théorème de comparaison des séries à termes positifs :

\boxed{\text{La série } \sum u_n \text{ converge.}}

2. Étude de la série $\sum v_n$ .

Soient $\alpha = 2+\sqrt{3}$ et $\beta = 2-\sqrt{3}$ . On pose $S_n = \alpha^n + \beta^n$ . En utilisant la formule du binôme de Newton :

S_n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} 2^{n-k} (\sqrt{3})^k + \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} 2^{n-k} (-\sqrt{3})^k

En sommant ces deux expressions, les termes correspondant à des indices $k$ impairs s'annulent :

S_n = 2 \sum_{0 \le 2p \le n} \binom{n}{2p} 2^{n-2p} 3^p

On en déduit que $S_n$ est un entier pair pour tout $n \in \mathbb{N}$ . Il existe donc $k_n \in \mathbb{N}$ tel que $S_n = 2k_n$ .

Eprimons maintenant l'argument de $v_n$ en fonction de $S_n$ et $\beta^n$ :

\pi \alpha^n = \pi (S_n - \beta^n) = 2k_n \pi - \pi \beta^n

Par périodicité et imparité de la fonction sinus :

v_n = \sin(2k_n \pi - \pi \beta^n) = \sin(-\pi \beta^n) = -u_n

Puisque nous avons montré que $\sum u_n$ converge, nous en concluons immédiatement :

\boxed{\text{La série } \sum v_n \text{ converge.}}

Croire à la divergence grossière car l'argument tend vers l'infini.

La somme des puissances n-ièmes des racines d'un polynôme unitaire à coefficients entiers est un entier.