Convergence d'une suite de restes pondérés

Résolution.

1. Calculons la différence $s_{n+1} - s_n$ :
   $$s_{n+1} - s_n = \left( \sum_{k=1}^{n+1} a_k - (n+1)a_{n+1} \right) - \left( \sum_{k=1}^n a_k - n a_n \right)$$

   En simplifiant la somme :

   $$s_{n+1} - s_n = a_{n+1} - (n+1)a_{n+1} + n a_n = n(a_n - a_{n+1})$$

   Comme la suite $(a_n)$ est décroissante, $a_n - a_{n+1} \geq 0$, donc $s_{n+1} - s_n \geq 0$.

   $$\boxed{\text{La suite } (s_n) \text{ est croissante.}}$$

2. 1. La suite $(s_n)$ est croissante et majorée, donc elle converge vers une limite réelle $s$. Fixons $n$ et $p$ dans $\mathbb{N}^*$. On a :
      $$s_{n+p} - s_n = \sum_{k=n}^{n+p-1} k(a_k - a_{k+1})$$

      Puisque $k \geq n$, on peut minorer chaque terme de la somme :

      $$s_{n+p} - s_n \geq n \sum_{k=n}^{n+p-1} (a_k - a_{k+1}) = n(a_n - a_{n+p})$$

      En faisant tendre $p$ vers $+\infty$, comme $a_{n+p} \to 0$, on obtient :

      $$0 \leq n a_n \leq s - s_n$$

      Comme $\lim_{n \to +\infty} (s - s_n) = 0$, par encadrement :

      $$\boxed{\lim_{n \to +\infty} n a_n = 0}$$

   2. Par définition de $s_n$, la somme partielle $S_n = \sum_{k=1}^n a_k$ s'écrit :
      $$S_n = s_n + n a_n$$

      D'après les résultats précédents, $s_n \to s$ et $n a_n \to 0$. Donc $S_n$ converge vers $s$.

      $$\boxed{\text{La série } \sum a_n \text{ converge et sa somme vaut } s.}$$