Moyenne de Césaro et sommation d'Abel

Résolution.

1. Utilisons une sommation par parties :
   $$\sum_{k=1}^n k u_k = \sum_{k=1}^n k (s_k - s_{k-1}) = n s_n - \sum_{k=1}^{n-1} s_k$$
   où l'on a posé $s_0 = 0$. En divisant par $n$ :
   $$\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n k u_k = s_n - \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n-1} s_k$$

   Puisque la série $\sum u_n$ converge, la suite $(s_n)$ converge vers une limite $S$. D'après le théorème de Césaro, $\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n-1} s_k \to S$. Ainsi :

   $$\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n k u_k = S - S = 0$$
   $$\boxed{\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n k u_k = 0}$$

2. Notons $v_n = \frac{1}{n(n+1)} \sum_{k=1}^n k u_k$. En utilisant l'identité précédente $\sum_{k=1}^n k u_k = n s_n - \sum_{k=1}^{n-1} s_k$ :
   $$v_n = \frac{n s_n - \sum_{k=1}^{n-1} s_k}{n(n+1)} = \frac{s_n}{n+1} - \frac{\sum_{k=1}^{n-1} s_k}{n(n+1)}$$

   Or, on remarque que $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$. Donc :

   $$v_n = \frac{s_n}{n+1} - \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) \sum_{k=1}^{n-1} s_k = \frac{s_n + \sum_{k=1}^{n-1} s_k}{n+1} - \frac{\sum_{k=1}^{n-1} s_k}{n}$$

   Finalement :

   $$\boxed{v_n = \frac{\sum_{k=1}^n s_k}{n+1} - \frac{\sum_{k=1}^{n-1} s_k}{n}}$$

3. La somme partielle $V_N = \sum_{n=1}^N v_n$ est télescopique :
   $$V_N = \frac{\sum_{k=1}^N s_k}{N+1} - \frac{s_0}{1} = \frac{\sum_{k=1}^N s_k}{N+1}$$

   D'après le théorème de Césaro, comme $s_k \to \sum_{n=1}^{+\infty} u_n$, la moyenne tend vers cette même limite.

   $$\boxed{\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{u_1 + 2u_2 + \dots + n u_n}{n(n+1)} = \sum_{n=1}^{+\infty} u_n}$$