Majoration géométrique par blocs

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de réels positifs. On note $U_n = \sum_{k=0}^n u_k$ sa somme partielle. On suppose que pour tout $n \geq 1$ :

U_{2n} \leq \left( 1 + \frac{1}{n} \right) U_n

Montrer que la série $\sum u_n$ est convergente.

1.

Appliquer l'inégalité récursivement pour les indices de la forme $2^k$ .

2.

Utiliser le produit infini ou la série des logarithmes pour montrer que la suite $(U_{2^k})$ est bornée.

Idées clés

•

Transformation d'une relation de récurrence en produit.

•

Lien entre convergence d'un produit et convergence d'une série (via le logarithme).

Résolution.

Appliquons l'inégalité pour $n = 2^k$ :

U_{2^{k+1}} \leq \left( 1 + \frac{1}{2^k} \right) U_{2^k}

Par une récurrence immédiate, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ :

U_{2^n} \leq U_1 \prod_{k=0}^{n-1} \left( 1 + \frac{1}{2^k} \right)

Pour montrer que $U_{2^n}$ est majoré, étudions le comportement du produit. Passons au logarithme :

\ln \left( \prod_{k=0}^{n-1} \left( 1 + \frac{1}{2^k} \right) \right) = \sum_{k=0}^{n-1} \ln \left( 1 + \frac{1}{2^k} \right)

On sait que $\ln(1+x) \sim x$ au voisinage de 0. Ainsi :

\ln \left( 1 + \frac{1}{2^k} \right) \underset{k \to +\infty}{\sim} \frac{1}{2^k}

La série $\sum \frac{1}{2^k}$ est une série géométrique convergente de raison $1/2 < 1$ . Par comparaison, la série $\sum \ln \left( 1 + \frac{1}{2^k} \right)$ converge. Notons $L$ sa somme. Alors :

\forall n \in \mathbb{N},   U_{2^n} \leq U_1 \cdot e^L

La suite $(U_{2^n})$ est donc majorée. Comme la suite $(u_n)$ est positive, la suite des sommes partielles $(U_n)$ est croissante. Une suite croissante possédant une sous-suite majorée est elle-même majorée.

\boxed{\text{La suite } (U_n) \text{ converge, donc la série } \sum u_n \text{ converge.}}

Passage d'une sous-suite à la suite entière via la croissance.

Un produit de termes (1 + eps_k) converge si la série des eps_k converge.