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Divergence sous contrainte de bijection

bijectiondécroissanceminoration par tranchesSommation par blocs

Soit (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}} une suite réelle positive et décroissante. On suppose qu'il existe une bijection strictement croissante φ:N→N\varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N} telle que pour tout k∈N∗k \in \mathbb{N}^* :

uφ(k)≥1φ(k)u_{\varphi(k)} \geq \frac{1}{\varphi(k)}

Étudier la nature de la série ∑un\sum u_n.

1.

Minorer les sommes par tranches entre φ(k)\varphi(k) et φ(k+1)\varphi(k+1).

2.

Comparer la série obtenue à une intégrale ou à la croissance de ln⁡(φ(k))\ln(\varphi(k)).

Idées clés

•

Sommation par blocs (tranches de Cauchy).

•

Utilisation de la décroissance pour minorer les termes intermédiaires.

Résolution.

Considérons la somme par blocs entre deux valeurs consécutives de la bijection φ\varphi :

Sφ(n)=∑j=0φ(n)uj=u0+∑k=1n−1(∑j=φ(k)+1φ(k+1)uj)S_{\varphi(n)} = \sum_{j=0}^{\varphi(n)} u_j = u_0 + \sum_{k=1}^{n-1} \left( \sum_{j=\varphi(k)+1}^{\varphi(k+1)} u_j \right)

Par décroissance de la suite (un)(u_n), pour j≤φ(k+1)j \leq \varphi(k+1), on a uj≥uφ(k+1)u_j \geq u_{\varphi(k+1)}. D'où :

∑j=φ(k)+1φ(k+1)uj≥(φ(k+1)−φ(k))uφ(k+1)\sum_{j=\varphi(k)+1}^{\varphi(k+1)} u_j \geq (\varphi(k+1) - \varphi(k)) u_{\varphi(k+1)}

En utilisant l'hypothèse uφ(k+1)≥1φ(k+1)u_{\varphi(k+1)} \geq \frac{1}{\varphi(k+1)}, on obtient :

∑j=φ(k)+1φ(k+1)uj≥φ(k+1)−φ(k)φ(k+1)\sum_{j=\varphi(k)+1}^{\varphi(k+1)} u_j \geq \frac{\varphi(k+1) - \varphi(k)}{\varphi(k+1)}

Étudions la nature de la série de terme général vk=φ(k+1)−φ(k)φ(k+1)v_k = \frac{\varphi(k+1) - \varphi(k)}{\varphi(k+1)}. On remarque que :

vk=1−φ(k)φ(k+1)v_k = 1 - \frac{\varphi(k)}{\varphi(k+1)}

Si φ(k)φ(k+1)\frac{\varphi(k)}{\varphi(k+1)} ne tend pas vers 1, alors vkv_k ne tend pas vers 0 et la série diverge. Si φ(k)φ(k+1)→1\frac{\varphi(k)}{\varphi(k+1)} \to 1, alors vk∼−ln⁡(φ(k)φ(k+1))=ln⁡(φ(k+1))−ln⁡(φ(k))v_k \sim -\ln\left(\frac{\varphi(k)}{\varphi(k+1)}\right) = \ln(\varphi(k+1)) - \ln(\varphi(k)). La somme partielle de ces termes est :

∑k=1n−1vk≈ln⁡(φ(n))−ln⁡(φ(1))\sum_{k=1}^{n-1} v_k \approx \ln(\varphi(n)) - \ln(\varphi(1))

Comme φ\varphi est une bijection strictement croissante de N\mathbb{N} dans N\mathbb{N}, on a φ(n)≥n\varphi(n) \geq n, donc lim⁡n→+∞ln⁡(φ(n))=+∞\lim_{n \to +\infty} \ln(\varphi(n)) = +\infty. La série des vkv_k diverge vers +∞+\infty.

La seˊrie ∑un diverge.\boxed{\text{La série } \sum u_n \text{ diverge.}}

Intuition trompeuse sur la convergence.

La minoration par tranches pour prouver la divergence.