Convergence d'une série double de Riemann

Soit $\alpha$ un paramètre réel. On s'intéresse à la nature de la série double de terme général

u_{i,j} = \frac{1}{(i+j+1)^\alpha}

pour

(i, j) \in \mathbb{N}^2

.

Montrer que si $\alpha \le 1$ , la série diverge.
On suppose désormais $\alpha > 1$ . À l'aide d'une comparaison série-intégrale, donner un équivalent simple de $S_i = \sum_{j=0}^{+\infty} \frac{1}{(i+j+1)^\alpha}$ quand $i \to +\infty$ .
En déduire une condition nécessaire et suffisante sur $\alpha$ pour que la série double $\sum u_{i,j}$ converge.

1.

Pour la question 1, fixer $i=0$ et regarder la nature de la série simple obtenue.

2.

Pour la question 2, utiliser l'encadrement par l'intégrale $\int_{i+j+1}^{i+j+2} \frac{\mathrm{d}x}{x^\alpha} \le \frac{1}{(i+j+1)^\alpha} \le \int_{i+j}^{i+j+1} \frac{\mathrm{d}x}{x^\alpha}$ .

3.

Pour la question 3, sommer les équivalents (théorème de comparaison des séries à termes positifs).

Idées clés

•

Théorème de Fubini pour les familles à termes positifs (sommation par paquets).

•

Comparaison série-intégrale pour estimer les restes ou les sommes.

Résolution.

Supposons que la série double converge. Alors pour tout $i \in \mathbb{N}$ , la série simple $\sum_{j} \frac{1}{(i+j+1)^\alpha}$ doit converger. Pour $i=0$ , le terme général est $u_{0,j} = \frac{1}{(j+1)^\alpha}$ . D'après la règle de Riemann, cette série converge si et seulement si $\alpha > 1$ . Ainsi, si $\alpha \le 1$ , la série double diverge grossièrement par non-convergence des séries partielles.
Soit $\alpha > 1$ et $i \ge 1$ . La fonction $f : x \mapsto x^{-\alpha}$ est décroissante sur $[i, +\infty[$ . Par comparaison série-intégrale, pour tout $j \in \mathbb{N}$ : $\int_{i+j+1}^{i+j+2} \frac{\mathrm{d}x}{x^\alpha} \le \frac{1}{(i+j+1)^\alpha} \le \int_{i+j}^{i+j+1} \frac{\mathrm{d}x}{x^\alpha}$ En sommant pour $j$ allant de $0$ à $+\infty$ , on obtient : $\int_{i+1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d}x}{x^\alpha} \le \sum_{j=0}^{+\infty} \frac{1}{(i+j+1)^\alpha} \le \int_{i}^{+\infty} \frac{\mathrm{d}x}{x^\alpha}$ Puisque $\alpha > 1$ , les intégrales convergent et on calcule : $\frac{1}{(\alpha-1)(i+1)^{\alpha-1}} \le S_i \le \frac{1}{(\alpha-1)i^{\alpha-1}}$ On en déduit l'équivalent suivant : $\boxed{ S_i \underset{i \to +\infty}{\sim} \frac{1}{(\alpha-1)i^{\alpha-1}} }$
La série double à termes positifs $\sum u_{i,j}$ converge si et seulement si la série des sommes partielles $\sum S_i$ converge. D'après l'équivalent trouvé précédemment : $S_i \sim \frac{1}{(\alpha-1)} \cdot \frac{1}{i^{\alpha-1}}$ La série $\sum S_i$ est une série de Riemann. Elle converge si et seulement si l'exposant $\alpha - 1$ est strictement supérieur à 1. Ceci équivaut à $\alpha > 2$ .

Le résultat final est donc :

\boxed{ \text{La série converge si et seulement si } \alpha > 2 }

Oublier de vérifier la convergence de la série interne avant de sommer.

La condition de convergence pour 1/(i+j)^alpha est alpha > 2.