Série double et fractions rationnelles

Soient $\alpha$ et $\beta$ deux réels strictement positifs. On considère les trois propriétés suivantes concernant la série double de terme général $u_{p,q}$ :

$\sum_{(p, q) \in \mathbb{N}^{2}} \frac{p+q}{\left(1+p^{\alpha}\right)\left(1+q^{\beta}\right)}$ est convergente.
$\sum_{(p, q) \in \mathbb{N}^{2}} \frac{p+q}{(1+p)^{\alpha}(1+q)^{\beta}}$ est convergente.
$\alpha>2$ et $\beta>2$ .

Montrer que ces trois propriétés sont équivalentes.

1.

Pour $(i) \iff (ii)$ , utiliser un argument de comparaison simple (équivalents de termes généraux).

2.

Pour $(ii) \Rightarrow (iii)$ , fixer $q=0$ et regarder la convergence de la série en $p$ .

3.

Pour $(iii) \Rightarrow (i)$ , utiliser la linéarité $p+q$ pour séparer la somme en deux produits de séries simples.

Idées clés

•

Symétrie du rôle de $\alpha$ et $\beta$ .

•

Séparation des variables : $\sum \frac{p}{A_p B_q} = \left(\sum \frac{p}{A_p}\right) \left(\sum \frac{1}{B_q}\right)$ .

Résolution.

1. Équivalence (i) $\iff$ (ii) :

Pour $p \in \mathbb{N}$ , on a $1+p^\alpha \sim p^\alpha$ et $(1+p)^\alpha \sim p^\alpha$ quand $p \to +\infty$ .

Ainsi, le terme général de (i) et celui de (ii) sont équivalents :

\frac{p+q}{\left(1+p^{\alpha}\right)\left(1+q^{\beta}\right)} \sim \frac{p+q}{(1+p)^{\alpha}(1+q)^{\beta}}

Comme il s'agit de séries à termes positifs, elles sont de même nature.

2. Preuve de (ii) $\Rightarrow$ (iii) :

Supposons que la série double $\sum_{p,q} v_{p,q}$ converge, où $v_{p,q} = \frac{p+q}{(1+p)^{\alpha}(1+q)^{\beta}}$ .

Alors pour $q=0$ fixé, la série simple $\sum_{p=0}^{+\infty} v_{p,0}$ doit converger. Or :

v_{p,0} = \frac{p}{(1+p)^\alpha \cdot 1} \underset{p \to +\infty}{\sim} \frac{1}{p^{\alpha-1}}

Cette série de Riemann converge si et seulement si $\alpha-1 > 1$ , soit $\alpha > 2$ .

Par symétrie (en fixant $p=0$ ), on obtient de même $\beta > 2$ .

\boxed{ (ii) \implies \alpha > 2 \text{ et } \beta > 2 }

3. Preuve de (iii) $\Rightarrow$ (i) :

Supposons $\alpha > 2$ et $\beta > 2$ . On décompose le terme général par linéarité :

u_{p,q} = \frac{p}{\left(1+p^{\alpha}\right)\left(1+q^{\beta}\right)} + \frac{q}{\left(1+p^{\alpha}\right)\left(1+q^{\beta}\right)}

Par sommation par paquets (termes positifs) :

\sum_{p,q} \frac{p}{\left(1+p^{\alpha}\right)\left(1+q^{\beta}\right)} = \left( \sum_{p=0}^{+\infty} \frac{p}{1+p^\alpha} \right) \times \left( \sum_{q=0}^{+\infty} \frac{1}{1+q^\beta} \right)

Comme $\alpha > 2$ , on a $\alpha - 1 > 1$ , donc la série $\sum \frac{p}{1+p^\alpha}$ converge.
Comme $\beta > 2$ , on a $\beta > 1$ , donc la série $\sum \frac{1}{1+q^\beta}$ converge.

Le produit de ces deux séries convergentes converge. Par symétrie, le second terme de la somme converge également car $\beta > 2$ et $\alpha > 1$ .

\boxed{ (iii) \implies (i) }

Nécessité d'avoir la convergence sur chaque indice séparément.

Une série double à variables séparables converge ssi chaque série simple converge.