Série alternée et critère de Césaro

Étudier la nature de la série $\sum_{n \ge 1} u_n$ où :

u_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt[n]{n!}}

1.

Utiliser le logarithme pour étudier le comportement de $|u_n|$ .

2.

Appliquer le théorème de Césaro pour montrer que $|u_n| \to 0$ .

3.

Étudier la monotonie de la suite $(|u_n|)$ pour appliquer le critère spécial des séries alternées.

•

Critère Spécial des Séries Alternées (CSSA).

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Théorème de Césaro pour les limites de moyennes.

•

Comparaison de la moyenne avec le terme suivant.

Résolution.

Posons $v_n = |u_n| = \frac{1}{(n!)^{1/n}}$ . Nous allons montrer que $(v_n)$ décroit vers 0. Passons au logarithme :

\ln v_n = -\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \ln k

La suite $(\ln n)$ tend vers $+\infty$ . Par le théorème de Césaro, la moyenne de ses termes tend aussi vers $+\infty$ :

\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \ln k \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty

On en déduit que $\ln v_n \to -\infty$ , donc $\lim_{n \to +\infty} v_n = 0$ .

Étudions maintenant la monotonie de $(v_n)$ en calculant $\ln v_{n+1} - \ln v_n$ :

\ln v_{n+1} - \ln v_n = -\frac{1}{n+1} \sum_{k=1}^{n+1} \ln k + \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \ln k

\ln v_{n+1} - \ln v_n = \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) \sum_{k=1}^n \ln k - \frac{\ln(n+1)}{n+1}

\ln v_{n+1} - \ln v_n = \frac{1}{n(n+1)} \left( \sum_{k=1}^n \ln k - n \ln(n+1) \right)

Comme la fonction $\ln$ est croissante, $\ln k \le \ln n < \ln(n+1)$ pour tout $k \in \{1, \dots, n\}$ . Ainsi, $\sum_{k=1}^n \ln k < n \ln(n+1)$ .

On en conclut que $\ln v_{n+1} - \ln v_n < 0$ , donc la suite $(v_n)$ est strictement décroissante.

Conclusion : La suite $(|u_n|)$ décroît vers 0. D'après le critère spécial des séries alternées :

\boxed{\sum u_n \text{ converge}}

Affirmer la décroissance sans preuve rigoureuse.

Critère Spécial des Séries Alternées.