Intégrale à paramètre et semi-convergence

Pour $n \in \mathbb{N}^*$ , on pose :

u_n = (-1)^n n^\alpha \int_0^{1/n} \frac{\ln t}{1+t}   dt

où

\alpha

est un réel. Étudier la convergence de la série

\sum u_n

.

1.

Isoler le terme principal de l'intégrale en écrivant $\frac{1}{1+t} = 1 - \frac{t}{1+t}$ .

2.

Effectuer un développement asymptotique de l'intégrale à l'ordre $1/n^2$ .

3.

Discuter selon les valeurs de $\alpha$ en utilisant la semi-convergence ou la convergence absolue.

•

Développement asymptotique d'une intégrale.

•

Décomposition en séries alternées et séries absolument convergentes.

Résolution.

Analysons l'intégrale $I_n = \int_0^{1/n} \frac{\ln t}{1+t} dt$ . On écrit :

I_n = \int_0^{1/n} \ln t   dt - \int_0^{1/n} \frac{t \ln t}{1+t}   dt

Le premier terme se calcule explicitement :

\int_0^{1/n} \ln t   dt = [t \ln t - t]_0^{1/n} = -\frac{\ln n}{n} - \frac{1}{n}

Pour le second terme, noté $R_n$ , on a pour $t \in [0, 1/n]$ l'encadrement $0 \le \frac{t}{1+t} \le t$ . Comme $\ln t < 0$ , on a :

0 \le -R_n \le -\int_0^{1/n} t \ln t   dt = -\left[ \frac{t^2}{2} \ln t - \frac{t^2}{4} \right]_0^{1/n} = \frac{\ln n}{2n^2} + \frac{1}{4n^2}

Ainsi, $R_n = O\left( \frac{\ln n}{n^2} \right)$ . Le terme général s'écrit :

|u_n| = n^\alpha \left( \frac{\ln n}{n} + \frac{1}{n} + O\left( \frac{\ln n}{n^2} \right) \right) = \frac{\ln n}{n^{1-\alpha}} + \frac{1}{n^{1-\alpha}} + O\left( \frac{\ln n}{n^{2-\alpha}} \right)

Discussion :

Si $\alpha \ge 1$ : $|u_n| \not\to 0$ , donc la série diverge grossièrement.
Si $0 \le \alpha < 1$ : Le terme principal $\frac{(-1)^n \ln n}{n^{1-\alpha}}$ est le terme général d'une série alternée convergente (par CSSA car la fonction $x \mapsto \frac{\ln x}{x^{1-\alpha}}$ est décroissante pour $x$ assez grand). De même pour $\frac{(-1)^n}{n^{1-\alpha}}$ . Le reste est un $O\left( \frac{\ln n}{n^{2-\alpha}} \right)$ avec $2-\alpha > 1$ , donc absolument convergent.
Si $\alpha < 0$ : $|u_n| = O\left( \frac{\ln n}{n^{1-\alpha}} \right)$ avec $1-\alpha > 1$ , la série converge absolument.

Conclusion :

\boxed{\text{La série converge si et seulement si } \alpha < 1}

Se limiter à un équivalent pour une série alternée.

Décomposition en série alternée + série absolument convergente.