Arguments trigonométriques et formes intégrales

Résolution.

1. On écrit $\sqrt{n^2+n} = n \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{1/2} = n + \frac{1}{2} - \frac{1}{8n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)$. Alors $\pi \sqrt{n^2+n} = n\pi + \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{8n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)$. $u_n = \sin(n\pi + \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{8n} + \dots) = (-1)^n \cos\left(\frac{\pi}{8n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)\right)$. On a $|u_n| \to 1 \neq 0$, donc la série diverge grossièrement.

2. De même, $\sqrt[3]{n^3+n^2} = n + \frac{1}{3} - \frac{1}{9n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)$. $u_n = \sin(n\pi + \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{9n} + \dots) = (-1)^n \sin\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{9n} + \dots\right)$. Là encore, $|u_n| \to \sin(\pi/3) = \frac{\sqrt{3}}{2} \neq 0$. La série diverge grossièrement.

3. Considérons l'intégrale $I = \int_1^N \frac{\cos(\ln x)}{x}   dx$. Par changement de variable $u = \ln x$, $I = \int_0^{\ln N} \cos(u)   du = \sin(\ln N)$. Cette intégrale n'a pas de limite en $+\infty$, ce qui suggère la divergence. Plus rigoureusement, en utilisant le critère de Cauchy sur des tranches où $\cos(\ln n) \ge 1/2$, on montre la divergence.
   $$\boxed{ \text{La série diverge} }$$

4. Posons $x = \tan \theta$, alors $dx = (1+\tan^2 \theta) d\theta = \frac{d\theta}{\cos^2 \theta}$ et $1+x^2 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$. $u_n = \int_0^{\pi/2} (\cos^2 \theta)^n \frac{d\theta}{\cos^2 \theta} = \int_0^{\pi/2} \cos^{2n-2} \theta   d\theta = W_{2n-2}$. D'après l'équivalent de Wallis, $u_n \sim \sqrt{\frac{\pi}{2(2n-2)}} \sim \sqrt{\frac{\pi}{4n}}$. Comme $u_n \sim \frac{C}{\sqrt{n}}$, par comparaison aux séries de Riemann :
   $$\boxed{ \text{La série diverge} }$$

5. Effectuons un développement limité : $\exp(\text{ch}(1/\sqrt{n})) = \exp(1 + \frac{1}{2n} + \frac{1}{24n^2} + \dots) = e \cdot (1 + \frac{1}{2n} + O(\frac{1}{n^2}))$. $\sqrt{\frac{n-1}{n+1}} = (1-1/n)^{1/2}(1+1/n)^{-1/2} = (1 - \frac{1}{2n} + \dots)(1 - \frac{1}{2n} + \dots) = 1 - \frac{1}{n} + O(\frac{1}{n^2})$. $u_n = e + \frac{e}{2n} - a(1 - \frac{1}{n}) + O\left(\frac{1}{n^2}\right) = (e-a) + \frac{e/2 + a}{n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)$. Pour que la série converge, il faut déjà que $u_n \to 0$, donc $a = e$. Alors $u_n \sim \frac{3e/2}{n}$, ce qui diverge.
   $$\boxed{ \text{La série diverge pour tout } a \in \mathbb{R} }$$