Composition de limites uniformes

Résolution.

1. La suite $(f_n)$ converge uniformément vers $f$, donc elle converge simplement vers $f$. Par continuité de la fonction $h : t \mapsto \frac{t}{1+t^2}$ sur $\mathbb{R}$, la suite $(g_n)$ converge simplement vers la fonction $g$ définie par :
   $$\forall x \in I,   \boxed{g(x) = \frac{f(x)}{1 + f(x)^2}}$$

   Étudions la différence $|g_n(x) - g(x)|$. On a $g_n - g = h(f_n) - h(f)$. La fonction $h$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $h'(t) = \frac{1-t^2}{(1+t^2)^2}$. On remarque que $|h'(t)| \leq 1$ pour tout $t \in \mathbb{R}$ (en effet, $|1-t^2| \leq 1+t^2$ et $1+t^2 \geq 1$). D'après l'inégalité des accroissements finis, $h$ est $1$-lipschitzienne sur $\mathbb{R}$. Ainsi :

   $$\forall x \in I,   |g_n(x) - g(x)| = |h(f_n(x)) - h(f(x))| \leq |f_n(x) - f(x)|$$

   En passant au supremum sur $I$, on obtient :

   $$\boxed{\|g_n - g\|_\infty \leq \|f_n - f\|_\infty}$$

   Comme $\|f_n - f\|_\infty \to 0$, on en déduit que $\|g_n - g\|_\infty \to 0$, d'où la convergence uniforme de $(g_n)$ vers $g$.

2. Analyse du cas général. Soit $\varphi : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$. Supposons $\varphi$ uniformément continue sur $\mathbb{R}$. Soit $\epsilon > 0$. Par définition de l'uniforme continuité, il existe $\eta > 0$ tel que :
   $$\forall (u,v) \in \mathbb{R}^2,   |u-v| < \eta \implies |\varphi(u) - \varphi(v)| < \epsilon$$

   Puisque $f_n \xrightarrow{CU} f$, il existe un rang $N$ tel que pour tout $n \geq N$, $\|f_n - f\|_\infty < \eta$. Alors, pour tout $n \geq N$ et pour tout $x \in I$, on a $|f_n(x) - f(x)| < \eta$, ce qui implique :

   $$|\varphi(f_n(x)) - \varphi(f(x))| < \epsilon$$

   Ceci étant vrai pour tout $x \in I$, on a $\|\varphi \circ f_n - \varphi \circ f\|_\infty \leq \epsilon$. Ainsi, \boxed{\text{l'uniforme continuité de } \varphi \text{ est une condition suffisante.}}