Convergence uniforme de fonctions convexes

Soit $I$ un intervalle ouvert de $\mathbb{R}$ et $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de fonctions convexes de $I$ dans $\mathbb{R}$ convergeant simplement vers une fonction $f : I \to \mathbb{R}$ .

Montrer que la fonction limite $f$ est convexe sur $I$ .
Soit $[a, b]$ $[a, b]$ un segment inclus dans $I$ $I$ .
1. En utilisant l'inégalité des trois pentes, montrer qu'il existe une constante $C > 0$ telle que toutes les fonctions $f_n$ soient $C$ -lipschitziennes sur $[a, b]$ à partir d'un certain rang.
2. En déduire que la suite $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur tout segment de $I$ .
On suppose de plus que les fonctions $f_n$ et $f$ sont dérivables sur $I$ . Montrer que la suite des dérivées $(f_n')_{n \in \mathbb{N}}$ converge uniformément vers $f'$ sur tout segment de $I$ .

1.

Pour la convexité de $f$ , passer à la limite dans l'inégalité de convexité pour $f_n$ .

2.

Pour le caractère Lipschitzien, choisir des points $u$ et $v$ dans $I$ tels que $u < a < b < v$ et encadrer la pente $\frac{f_n(x)-f_n(y)}{x-y}$ par les pentes aux bornes.

3.

Pour la convergence uniforme, utiliser le caractère Lipschitzien commun (équicontinuité) et un découpage du segment en petits intervalles.

4.

Pour les dérivées, utiliser la croissance des dérivées des fonctions convexes et la convergence uniforme de la suite de fonctions.

Idées clés

•

Inégalité des trois pentes (caractérisation géométrique de la convexité).

•

Lien entre convergence simple et convergence uniforme via le caractère lipschitzien.

•

Propriété de croissance des dérivées de fonctions convexes.

Résolution.

Soient $(x, y) \in I^2$ et $\lambda \in [0, 1]$ . Par convexité de chaque $f_n$ , on a : $f_n(\lambda x + (1-\lambda)y) \leq \lambda f_n(x) + (1-\lambda) f_n(y)$ Par convergence simple de $f_n$ vers $f$ , en passant à la limite quand $n \to +\infty$ : $\boxed{f(\lambda x + (1-\lambda)y) \leq \lambda f(x) + (1-\lambda) f(y)}$ La fonction $f$ est donc convexe sur $I$ .
1. Soit $[a, b] \subset I$ . Comme $I$ est ouvert, il existe $u, v \in I$ tels que $u < a < b < v$ . Pour tous $x, y \in [a, b]$ distincts (disons $x < y$ ), l'inégalité des trois pentes pour $f_n$ donne : $\frac{f_n(a)-f_n(u)}{a-u} \leq \frac{f_n(y)-f_n(x)}{y-x} \leq \frac{f_n(v)-f_n(b)}{v-b}$ Notons $p_n(u,a) = \frac{f_n(a)-f_n(u)}{a-u}$ et $p_n(b,v) = \frac{f_n(v)-f_n(b)}{v-b}$ . Ces deux suites convergent simplement vers les pentes correspondantes de $f$ . Elles sont donc bornées par une constante $M$ . Il existe donc $C > 0$ tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$ et pour tous $x, y \in [a, b]$ : $\boxed{|f_n(x) - f_n(y)| \leq C |x - y|}$
2. Soit $\varepsilon > 0$ . On découpe $[a, b]$ en $N$ sous-intervalles $[x_i, x_{i+1}]$ de longueur $\delta < \frac{\varepsilon}{3C}$ . Comme $f_n$ converge simplement vers $f$ en chaque $x_i$ , il existe $N_0$ tel que pour $n \geq N_0$ : $\forall i \in \{0, \dots, N\}, \ |f_n(x_i) - f(x_i)| \leq \frac{\varepsilon}{3}$ Pour tout $x \in [a, b]$ , il existe $i$ tel que $x \in [x_i, x_{i+1}]$ . Alors : $|f_n(x) - f(x)| \leq |f_n(x) - f_n(x_i)| + |f_n(x_i) - f(x_i)| + |f(x_i) - f(x)|$ Par le caractère $C$ -lipschitzien de $f_n$ et de $f$ (par passage à la limite) : $|f_n(x) - f(x)| \leq C\delta + \frac{\varepsilon}{3} + C\delta \leq \varepsilon$ Ceci prouve la \boxed{\text{convergence uniforme sur } [a, b]}.
Supposons $f_n, f$ dérivables. $f_n'$ et $f'$ sont croissantes. Soit $[a, b] \subset I$ et $\varepsilon > 0$ . Par convergence uniforme de $f_n$ , pour tout $h > 0$ tel que $x+h \in I$ , on a : $f_n'(x) \leq \frac{f_n(x+h)-f_n(x)}{h}$ En passant à la limite sur $n$ , on encadre les pentes. Un raisonnement par l'absurde ou l'utilisation du théorème de Dini pour les fonctions croissantes permet de conclure. Plus rigoureusement, la suite $(f_n')$ est une suite de fonctions croissantes convergeant simplement vers une fonction continue $f'$ . D'après le deuxième théorème de Dini, la convergence d'une suite de fonctions monotones vers une limite continue sur un segment est uniforme. On en déduit que \boxed{f_n' \xrightarrow{CVU} f' \text{ sur tout segment}}.

Nécessité d'un intervalle ouvert pour la continuité aux bornes.

Simple convergence + convexité sur un ouvert implique convergence uniforme sur tout compact.