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Approximation uniforme par fonctions affines

Heinecontinuité uniformeinterpolationaffine par morceauxThéorème de HeineCombinaison convexe

Soit EE un espace vectoriel normé sur R\mathbb{R} ou C\mathbb{C}. On considère une fonction continue f:[a,b]→Ef : [a, b] \to E, où a<ba < b.

Une fonction g:[a,b]→Eg : [a, b] \to E est dite continue et affine par morceaux s'il existe une subdivision σ=(a0,a1,…,an)\sigma = (a_0, a_1, \dots, a_n) de l'intervalle [a,b][a, b] telle que pour tout k∈⟦0,n−1⟧k \in \llbracket 0, n-1 \rrbracket, la restriction de gg à l'intervalle [ak,ak+1][a_k, a_{k+1}] est une fonction affine, c'est-à-dire de la forme :

∀t∈[ak,ak+1],g(t)=t⋅u+vavec (u,v)∈E2\forall t \in [a_k, a_{k+1}],   g(t) = t \cdot u + v   \text{avec } (u, v) \in E^2

Montrer que ff est la limite uniforme sur [a,b][a, b] d'une suite de fonctions (fn)n∈N∗(f_n)_{n \in \mathbb{N}^*} continues et affines par morceaux.

1.

Utiliser le théorème de Heine pour établir la continuité uniforme de ff sur le segment [a,b][a, b].

2.

Construire une suite de fonctions fnf_n par interpolation linéaire de ff aux points d'une subdivision régulière de pas (b−a)/n(b-a)/n.

3.

Pour majorer ∥f(t)−fn(t)∥\|f(t) - f_n(t)\|, utiliser le fait que sur chaque segment de la subdivision, fn(t)f_n(t) est une combinaison convexe des valeurs de ff aux bornes du segment.

Idées clés

•

Continuité uniforme (Théorème de Heine).

•

Interpolation linéaire (fonctions affines par morceaux).

•

Inégalité triangulaire et propriétés des combinaisons convexes.

1. Construction de la suite de fonctions.

Soit n∈N∗n \in \mathbb{N}^*. On considère la subdivision régulière de [a,b][a, b] définie par les points :

xk=a+kb−anpour k∈⟦0,n⟧x_k = a + k \frac{b-a}{n}   \text{pour } k \in \llbracket 0, n \rrbracket

On définit la fonction fn:[a,b]→Ef_n : [a, b] \to E telle que pour chaque k∈⟦0,n−1⟧k \in \llbracket 0, n-1 \rrbracket et pour tout t∈[xk,xk+1]t \in [x_k, x_{k+1}] :

fn(t)=xk+1−txk+1−xkf(xk)+t−xkxk+1−xkf(xk+1)f_n(t) = \frac{x_{k+1} - t}{x_{k+1} - x_k} f(x_k) + \frac{t - x_k}{x_{k+1} - x_k} f(x_{k+1})

Par construction, fnf_n est continue sur chaque [xk,xk+1][x_k, x_{k+1}] et coïncide avec ff aux points xkx_k. Elle est donc continue sur [a,b][a, b] et affine sur chaque intervalle de la subdivision.

2. Utilisation de la continuité uniforme.

La fonction ff est continue sur le segment [a,b][a, b], donc d'après le théorème de Heine, elle est uniformément continue sur ce segment.

Soit ε>0\varepsilon > 0. Il existe δ>0\delta > 0 tel que :

∀(x,y)∈[a,b]2,∣x−y∣≤δ  ⟹  ∥f(x)−f(y)∥≤ε\forall (x, y) \in [a, b]^2,   |x - y| \le \delta \implies \|f(x) - f(y)\| \le \varepsilon

3. Convergence uniforme.

Choisissons n0∈N∗n_0 \in \mathbb{N}^* tel que b−an0≤δ\frac{b-a}{n_0} \le \delta. Soit n≥n0n \ge n_0. Pour tout t∈[a,b]t \in [a, b], il existe un indice k∈⟦0,n−1⟧k \in \llbracket 0, n-1 \rrbracket tel que t∈[xk,xk+1]t \in [x_k, x_{k+1}].

On remarque que l'expression de fn(t)f_n(t) est une combinaison convexe de f(xk)f(x_k) et f(xk+1)f(x_{k+1}). En effet, si l'on pose λt=t−xkxk+1−xk∈[0,1]\lambda_t = \frac{t - x_k}{x_{k+1} - x_k} \in [0, 1], on a :

fn(t)=(1−λt)f(xk)+λtf(xk+1)f_n(t) = (1 - \lambda_t) f(x_k) + \lambda_t f(x_{k+1})

On peut alors écrire la différence :

f(t)−fn(t)=(1−λt)(f(t)−f(xk))+λt(f(t)−f(xk+1))f(t) - f_n(t) = (1 - \lambda_t) (f(t) - f(x_k)) + \lambda_t (f(t) - f(x_{k+1}))

En utilisant l'inégalité triangulaire :

∥f(t)−fn(t)∥≤(1−λt)∥f(t)−f(xk)∥+λt∥f(t)−f(xk+1)∥\|f(t) - f_n(t)\| \le (1 - \lambda_t) \|f(t) - f(x_k)\| + \lambda_t \|f(t) - f(x_{k+1})\|

Comme t∈[xk,xk+1]t \in [x_k, x_{k+1}], on a ∣t−xk∣≤b−an≤δ|t - x_k| \le \frac{b-a}{n} \le \delta et ∣t−xk+1∣≤b−an≤δ|t - x_{k+1}| \le \frac{b-a}{n} \le \delta. Par continuité uniforme de ff, on obtient :

∥f(t)−f(xk)∥≤εet∥f(t)−f(xk+1)∥≤ε\|f(t) - f(x_k)\| \le \varepsilon   \text{et}   \|f(t) - f(x_{k+1})\| \le \varepsilon

D'où :

∥f(t)−fn(t)∥≤(1−λt)ε+λtε=ε\|f(t) - f_n(t)\| \le (1 - \lambda_t) \varepsilon + \lambda_t \varepsilon = \varepsilon

Ce résultat étant vrai pour tout t∈[a,b]t \in [a, b], nous avons montré que :

∀n≥n0,sup⁡t∈[a,b]∥f(t)−fn(t)∥≤ε\forall n \ge n_0,   \sup_{t \in [a, b]} \|f(t) - f_n(t)\| \le \varepsilon

On en conclut que la suite de fonctions (fn)n∈N∗(f_n)_{n \in \mathbb{N}^*} converge uniformément vers ff sur [a,b][a, b].

lim⁡n→+∞∥f−fn∥∞=0\boxed{ \lim_{n \to +\infty} \|f - f_n\|_\infty = 0 }

Vouloir utiliser une subdivision fixe pour tout epsilon ou ne pas justifier la continuité globale de la fonction interpolée.

Le théorème de Heine est l'outil central pour transformer une continuité locale en un contrôle global (uniforme), permettant l'approximation.