Étude de continuité d'une série trigonométrique

On considère la fonction $f$ définie par la série de fonctions de terme général :

u_n(x) = \frac{x \sin (n x)}{2 \sqrt{n}+\cos x}

Justifier que la fonction $f$ est bien définie pour tout $x \in [0, \pi]$ .
Étudier la continuité de $f$ sur l'intervalle $] 0, \pi]$ .
La fonction $f$ est-elle continue en $0$ ? Conclure sur la continuité de $f$ sur $[0, \pi]$ .

1.

Pour l'existence, traiter séparément les cas $x=0$ et $x=\pi$ . Pour $x \in ]0, \pi[$ , utiliser le critère de Dirichlet (ou une transformation d'Abel).

2.

Pour la continuité sur $]0, \pi]$ , montrer la convergence uniforme sur tout segment $[a, \pi]$ avec $a > 0$ en utilisant une majoration uniforme du reste par la transformation d'Abel.

3.

Pour la continuité en $0$ , examiner si la convergence est uniforme sur $[0, \pi]$ en majorant le reste $R_N(x)$ indépendamment de $x$ grâce à l'inégalité $\sin(x/2) \geq \frac{x}{\pi}$ .

Idées clés

•

Transformation d'Abel pour les séries dont le terme général est le produit d'une suite monotone et d'une suite à sommes partielles bornées.

•

Lien entre convergence uniforme sur tout segment et continuité sur un intervalle ouvert.

•

Majoration du reste pour prouver la convergence uniforme globale.

1. Existence de la fonction $f$ .

Soit $x \in [0, \pi]$ . Si $x=0$ ou $x=\pi$ , on a $\sin(nx) = 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ , donc $u_n(x) = 0$ . La série converge et $f(0) = f(\pi) = 0$ .

Supposons $x \in ]0, \pi[$ . On pose $a_n(x) = \sin(nx)$ et $b_n(x) = \frac{x}{2\sqrt{n}+\cos x}$ . La suite $(b_n(x))_{n \geq 1}$ est positive et décroît vers $0$ car $n \mapsto 2\sqrt{n} + \cos x$ est strictement croissante et tend vers $+\infty$ .

Les sommes partielles $A_n(x) = \sum_{k=1}^n \sin(kx)$ sont bornées :

\left| A_n(x) \right| = \left| \text{Im}\left( \sum_{k=1}^n e^{ikx} \right) \right| = \left| \text{Im}\left( e^{ix} \frac{1-e^{inx}}{1-e^{ix}} \right) \right| \leq \frac{2}{|1-e^{ix}|} = \frac{1}{\sin(x/2)}

Par le critère de Dirichlet, la série $\sum u_n(x)$ converge.

\boxed{f \text{ est bien définie sur } [0, \pi]}

2. Continuité sur $]0, \pi]$ .

Soit $a \in ]0, \pi[$ . Étudions la convergence uniforme sur $K = [a, \pi]$ . Par une transformation d'Abel, le reste d'ordre $N$ s'écrit :

R_N(x) = \sum_{n=N+1}^{+\infty} a_n(x) b_n(x) = \lim_{M \to +\infty} \left( A_M(x)b_M(x) - A_N(x)b_{N+1}(x) + \sum_{n=N+1}^{M-1} A_n(x)(b_n(x) - b_{n+1}(x)) \right)

Comme $A_M(x)$ est borné et $b_M(x) \to 0$ , le premier terme s'annule. On obtient :

|R_N(x)| \leq |A_N(x)| b_{N+1}(x) + \sum_{n=N+1}^{+\infty} |A_n(x)| (b_n(x) - b_{n+1}(x))

Or, pour tout $x \in [a, \pi]$ , $|A_n(x)| \leq \frac{1}{\sin(a/2)}$ . Comme $b_n(x) \geq b_{n+1}(x)$ , la somme télescope :

|R_N(x)| \leq \frac{1}{\sin(a/2)} \left( b_{N+1}(x) + b_{N+1}(x) \right) = \frac{2x}{\sin(a/2)(2\sqrt{N+1}+\cos x)}

Pour $x \in [a, \pi]$ , on a $|R_N(x)| \leq \frac{2\pi}{\sin(a/2)(2\sqrt{N+1}-1)}$ , ce qui tend vers $0$ indépendamment de $x$ . Il y a convergence uniforme sur tout segment de $]0, \pi]$ . Comme chaque $u_n$ est continue :

\boxed{f \text{ est continue sur } ]0, \pi]}

3. Continuité en $0$ et conclusion.

Reprenons la majoration du reste pour $x \in ]0, \pi]$ . On a :

|R_N(x)| \leq \frac{2 b_{N+1}(x)}{\sin(x/2)} = \frac{2x}{(2\sqrt{N+1}+\cos x)\sin(x/2)}

En utilisant l'inégalité classique $\sin(\theta) \geq \frac{2}{\pi}\theta$ pour $\theta \in [0, \pi/2]$ , on a pour $x \in ]0, \pi]$ :

\frac{x}{\sin(x/2)} \leq \frac{x}{x/\pi} = \pi

On en déduit la majoration uniforme sur $]0, \pi]$ :

|R_N(x)| \leq \frac{2\pi}{2\sqrt{N+1}-1}

Cette majoration est aussi valable en $x=0$ car $R_N(0)=0$ . Le reste converge donc uniformément vers $0$ sur $[0, \pi]$ . Comme les fonctions $u_n$ sont toutes continues en $0$ (et même sur $[0, \pi]$ ), $f$ est continue en $0$ .

\boxed{f \text{ est continue sur } [0, \pi]}

Tentative de preuve par convergence normale alors que celle-ci échoue.

Utilisation de la transformation d'Abel pour la convergence uniforme.