Convergence des séries de sinus

Résolution.

1. Convergence simple. Soit $x \in \mathbb{R}$. Si $x \in 2\pi\mathbb{Z}$, alors $\sin(nx) = 0$ pour tout $n$ et la série converge. Si $x \notin 2\pi\mathbb{Z}$, on utilise la transformation d'Abel. Soit $S_n(x) = \sum_{k=1}^n \sin(kx)$. On sait que :
   $$\left| S_n(x) \right| = \left| \text{Im}\left( \sum_{k=1}^n e^{ikx} \right) \right| = \left| \text{Im}\left( e^{ix} \frac{1-e^{inx}}{1-e^{ix}} \right) \right| \leq \frac{2}{|1-e^{ix}|} = \frac{1}{|\sin(x/2)|}$$
   La suite $(a_n)$ étant décroissante vers 0 et les sommes partielles de la série $\sum \sin(nx)$ étant bornées, la série $\sum a_n \sin(nx)$ converge par le critère d'Abel.
   $$\boxed{\sum a_n \sin(nx) \text{ converge simplement sur } \mathbb{R}}$$

2. Convergence uniforme locale. Soit $\delta \in ]0, \pi[$. Pour tout $x \in [\delta, 2\pi-\delta]$, on a $|\sin(x/2)| \geq \sin(\delta/2) > 0$. Ainsi, $|S_n(x)| \leq \frac{1}{\sin(\delta/2)} = M_\delta$ pour tout $n$ et tout $x \in [\delta, 2\pi-\delta]$. Par la transformation d'Abel, pour $1 \leq p < q$ :
   $$\sum_{k=p}^q a_k \sin(kx) = a_q S_q(x) - a_p S_{p-1}(x) + \sum_{k=p}^{q-1} (a_k - a_{k+1}) S_k(x)$$
   En majorant par l'inégalité triangulaire :
   $$\left| \sum_{k=p}^q a_k \sin(kx) \right| \leq M_\delta \left( a_q + a_p + \sum_{k=p}^{q-1} |a_k - a_{k+1}| \right)$$
   Comme $(a_n)$ est décroissante, $\sum |a_k - a_{k+1}| = a_p - a_q$. D'où :
   $$\left| \sum_{k=p}^q a_k \sin(kx) \right| \leq 2 M_\delta a_p \xrightarrow[p \to \infty]{} 0$$
   La convergence est donc uniforme sur $[\delta, 2\pi-\delta]$. Chaque $f_n$ étant continue, la somme $S$ est continue sur tout segment inclus dans $]0, 2\pi[$.
   $$\boxed{S \text{ est continue sur } ]0, 2\pi[}$$

3. Condition nécessaire et suffisante pour la convergence uniforme.
   1. Sens direct. Supposons que la série converge uniformément sur $\mathbb{R}$. D'après le critère de Cauchy uniforme, la tranche de Cauchy tend vers 0 uniformément :
      $$\sup_{x \in \mathbb{R}} \left| \sum_{k=n+1}^{2n} a_k \sin(kx) \right| \xrightarrow[n \to \infty]{} 0$$
      Choisissons $x_n = \frac{\pi}{4n}$. Pour $k \in \{n+1, \dots, 2n\}$, on a $nx_n < kx_n \leq 2nx_n$, soit $\frac{\pi}{4} < kx_n \leq \frac{\pi}{2}$. Sur cet intervalle, la fonction sinus est croissante et minorée par $\sin(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. De plus, $a_k \geq a_{2n}$ par décroissance. Ainsi :
      $$\sum_{k=n+1}^{2n} a_k \sin(kx_n) \geq \sum_{k=n+1}^{2n} a_{2n} \frac{\sqrt{2}}{2} = n a_{2n} \frac{\sqrt{2}}{2}$$
      Comme cette somme tend vers 0, on en déduit que $2n a_{2n} \to 0$. De même, $0 \leq (2n+1)a_{2n+1} \leq \frac{2n+1}{2n} (2n a_{2n})$, donc le terme général impair tend aussi vers 0.
      $$\boxed{a_n = o\left(\frac{1}{n}\right)}$$

   2. Sens réciproque. Supposons $n a_n \to 0$. Soit $\varepsilon > 0$. Il existe $N$ tel que pour tout $k \geq N$, $k a_k \leq \varepsilon$. Soit $x \in ]0, \pi]$. On pose $m = \lfloor \pi/x \rfloor$. On découpe la tranche de Cauchy $R_n(x) = \sum_{k=n+1}^{\infty} a_k \sin(kx)$ en deux parties selon que $k \leq m$ ou $k > m$. Premier cas : si $k \leq m$, on utilise $|\sin(kx)| \leq kx$ :
      $$\left| \sum_{k=n+1}^{m} a_k \sin(kx) \right| \leq \sum_{k=n+1}^{m} a_k kx \leq \varepsilon \sum_{k=n+1}^m x \leq \varepsilon m x \leq \pi \varepsilon$$
      Second cas : si $k > m$, on utilise la transformation d'Abel. On a montré en question 2 que la somme est majorée par $2 a_{m+1} / \sin(x/2)$. Comme $\sin(x/2) \geq x/\pi$ pour $x \in [0, \pi]$, on a :
      $$\left| \sum_{k=m+1}^{\infty} a_k \sin(kx) \right| \leq \frac{2 \pi a_{m+1}}{x}$$
      Par définition de $m$, $m \leq \pi/x < m+1$, donc $1/x < (m+1)/\pi$. Ainsi :
      $$\frac{2 \pi a_{m+1}}{x} \leq 2 (m+1) a_{m+1} \leq 2\varepsilon$$
      Les deux parties étant majorées par un multiple de $\varepsilon$ indépendamment de $x$, la convergence est uniforme.