Convergence des séries de cosinus

Soit $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite réelle décroissante de limite nulle. On considère la série de fonctions :

\sum_{n=0}^{\infty} a_n \cos(nx)

Montrer que cette série converge uniformément sur $\mathbb{R}$ si et seulement si la série numérique $\sum a_n$ converge.

1.

Le sens "si" est une application directe de la convergence normale.

2.

Pour le sens "seulement si", évaluer la série en un point particulier pour obtenir la convergence de la série numérique.

Idées clés

•

Lien entre convergence uniforme et convergence simple en un point.

•

Convergence normale pour les séries de fonctions.

Résolution.

Sens direct : $\Longleftarrow$ On suppose que la série numérique $\sum a_n$ converge. Comme $a_n \geq 0$ , cela signifie que la série $\sum a_n$ est absolument convergente.

Pour tout $x \in \mathbb{R}$ et tout $n \in \mathbb{N}$ :

|a_n \cos(nx)| \leq a_n

Puisque la série numérique $\sum a_n$ converge, la série de fonctions $\sum a_n \cos(nx)$ converge normalement sur $\mathbb{R}$ . La convergence normale impliquant la convergence uniforme, le résultat est établi.

\boxed{\text{Si } \sum a_n \text{ converge, alors } \sum a_n \cos(nx) \text{ converge uniformément sur } \mathbb{R}}

Sens réciproque : $\Longrightarrow$ On suppose que la série de fonctions $S(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n \cos(nx)$ converge uniformément sur $\mathbb{R}$ .

La convergence uniforme sur $\mathbb{R}$ implique en particulier la convergence simple sur $\mathbb{R}$ . En évaluant la série au point $x = 0$ , nous obtenons :

S(0) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n \cos(n \cdot 0) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n

La convergence simple en $x=0$ assure donc la convergence de la série numérique $\sum a_n$ .

\boxed{\text{Si } \sum a_n \cos(nx) \text{ converge uniformément, alors } \sum a_n \text{ converge}}

Ne pas oublier que cos(0)=1, ce qui change tout par rapport au sinus.

Pour le cosinus, CU équivaut à la convergence de la série des coefficients.