Algèbre de Wiener sur les polynômes

Soit $E = \mathbb{R}[X]$ . Pour tout polynôme $P = \sum_{k=0}^n a_k X^k$ , on définit sa norme par :

\|P\|_1 = \sum_{k=0}^n |a_k|

On considère l'espace

\overline{E}

des suites réelles

(a_n)_{n \in \mathbb{N}}

telles que la série

\sum |a_n|

converge. Un élément de

\overline{E}

est noté formellement

\sum_{n=0}^{+\infty} a_n X^n

.

Montrer que $\left( \overline{E}, \|\cdot\|_1 \right)$ muni de $\| \sum a_n X^n \|_1 = \sum_{n=0}^{+\infty} |a_n|$ est un espace vectoriel normé.
On définit le produit de deux éléments $P = \sum a_n X^n$ $P = \sum a_{n} X^{n}$ et $Q = \sum b_n X^n$ $Q = \sum b_{n} X^{n}$ de $\overline{E}$ $\overline{E}$ par le produit de Cauchy : $P \cdot Q = \sum c_n X^n$ $P \cdot Q = \sum c_{n} X^{n}$ où $c_n = \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}$ $c_{n} = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} b_{n - k}$ .
1. Montrer que $\overline{E}$ est stable pour ce produit et que $\|P \cdot Q\|_1 \leq \|P\|_1 \|Q\|_1$ .
2. En déduire que $(\overline{E}, \|\cdot\|_1)$ est une algèbre de Banach.
Quelle relation existe-t-il entre l'espace $(E, \|\cdot\|_1)$ et $(\overline{E}, \|\cdot\|_1)$ ?

1.

L'espace $\overline{E}$ s'identifie à l'espace des suites $\ell^1(\mathbb{N})$ .

2.

Pour la stabilité du produit, utiliser le théorème sur le produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes.

3.

Pour la complétude, s'inspirer de la preuve classique du fait que $\ell^1$ est complet.

4.

Pour la question 3, considérer l'ensemble des polynômes comme les suites presque nulles.

Idées clés

•

Identification de $\overline{E}$ à l'espace de suites $\ell^1(\mathbb{N})$ .

•

Produit de Cauchy et inégalité de convolution.

•

Théorème de complétude des espaces $\ell^p$ .

Résolution.

L'application $f : \overline{E} \to \ell^1(\mathbb{N})$ qui à $\sum a_n X^n$ associe la suite $(a_n)$ est un isomorphisme d'espaces vectoriels. Comme $\ell^1(\mathbb{N})$ est un espace vectoriel normé pour la norme $\| \cdot \|_1$ , il en est de même pour $\overline{E}$ .
1. Soient $P = \sum a_n X^n$ et $Q = \sum b_n X^n$ dans $\overline{E}$ . Le coefficient du produit de Cauchy est $c_n = \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}$ . On calcule la somme des modules : $\sum_{n=0}^N |c_n| = \sum_{n=0}^N \left| \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k} \right| \leq \sum_{n=0}^N \sum_{k=0}^n |a_k| |b_{n-k}|$ Par interversion de sommation (somme finie sur le triangle $0 \le k \le n \le N$ ) : $\sum_{n=0}^N |c_n| \leq \sum_{k=0}^N |a_k| \left( \sum_{n=k}^N |b_{n-k}| \right) \leq \sum_{k=0}^N |a_k| \left( \sum_{j=0}^{N-k} |b_j| \right)$ En majorant les sommes partielles par les sommes totales de ces séries à termes positifs : $\sum_{n=0}^N |c_n| \leq \left( \sum_{k=0}^{+\infty} |a_k| \right) \left( \sum_{j=0}^{+\infty} |b_j| \right) = \|P\|_1 \|Q\|_1$ En faisant tendre $N$ vers $+\infty$ , on en déduit que $P \cdot Q \in \overline{E}$ et : $\boxed{\|P \cdot Q\|_1 \leq \|P\|_1 \|Q\|_1}$
2. $\overline{E}$ est une algèbre car le produit est associatif, distributif et possède une unité $1 = X^0$ . Pour la complétude, soit $(P_k)_{k \in \mathbb{N}}$ une suite de Cauchy dans $\overline{E}$ , où $P_k = \sum_{n=0}^{+\infty} a_{n,k} X^n$ . Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $|a_{n,k} - a_{n,m}| \leq \|P_k - P_m\|_1$ , donc chaque suite de coefficients $(a_{n,k})_k$ est de Cauchy dans $\mathbb{R}$ , donc converge vers un réel $a_n$ . On montre classiquement (comme pour $\ell^1$ ) que $P = \sum a_n X^n \in \overline{E}$ et que $\|P_k - P\|_1 \to 0$ . Ainsi, $\overline{E}$ est une algèbre de Banach.
L'espace $E$ des polynômes s'identifie au sous-espace de $\overline{E}$ constitué des suites à support fini. Ce sous-espace est dense dans $\overline{E}$ car pour tout $P = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n X^n \in \overline{E}$ , la suite de ses sommes partielles (qui sont des polynômes) converge vers $P$ pour la norme $\| \cdot \|_1$ . $\boxed{\overline{E} \text{ est le complété de } E \text{ pour la norme } \|\cdot\|_1}$

Confusion entre norme des coefficients et norme intégrale.

L'espace des séries absolument convergentes est une algèbre de Banach pour le produit de Cauchy.