Absence de convergence des sinus oscillants

Soit $(\lambda_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de réels telle que $\lim_{n \to +\infty} \lambda_n = +\infty$ .

Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , on définit la fonction $f_n$ sur $\mathbb{R}$ par :

f_n(x) = \sin(\lambda_n x)

On se propose de montrer qu'il n'existe aucun segment $[a, b]$ de $\mathbb{R}$ (avec $a < b$ ) sur lequel la suite de fonctions $(f_n)$ converge simplement.

Soit $\varphi \in \mathcal{C}^1([a, b], \mathbb{R})$ . Étudier la limite, quand $n \to +\infty$ , de l'intégrale : $I_n(\varphi) = \int_a^b \sin(\lambda_n x) \varphi(x) dx$
On suppose par l'absurde que $(f_n)$ $(f_{n})$ converge simplement vers une fonction $f$ $f$ sur $[a, b]$ $[a, b]$ .
1. En utilisant le théorème de convergence dominée, montrer que pour toute fonction $\varphi \in \mathcal{C}^0([a, b], \mathbb{R})$ , on a $\int_a^b f(x) \varphi(x) dx = 0$ .
2. En déduire que la fonction $f$ est nulle presque partout (on admettra que cela implique $f=0$ si $f$ est continue, ou on raisonnera sur l'intégrale).
En considérant la suite de fonctions $(f_n^2)$ , aboutir à une contradiction.
Conclure quant à l'existence d'un segment sur lequel $(f_n)$ converge uniformément.

1.

Pour la question 1, effectuer une intégration par parties pour faire apparaître du $1/\lambda_n$ .

2.

Pour la question 2(a), remarquer que les fonctions $f_n$ sont uniformément bornées par $1$ .

3.

Pour la question 3, utiliser la formule de linéarisation $\sin^2(\theta) = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$ et appliquer le résultat de la question 1.

Idées clés

•

Lemme de Riemann-Lebesgue (version élémentaire par IPP).

•

Théorème de convergence dominée (TCD) pour passer à la limite sous l'intégrale.

•

Propriété de la valeur moyenne du carré d'un sinus.

Résolution.

Soit $\varphi \in \mathcal{C}^1([a, b], \mathbb{R})$ . Procédons par intégration par parties : $I_n(\varphi) = \left[ -\frac{\cos(\lambda_n x)}{\lambda_n} \varphi(x) \right]_a^b + \int_a^b \frac{\cos(\lambda_n x)}{\lambda_n} \varphi'(x) dx$
On peut majorer la valeur absolue de cette expression :
$|I_n(\varphi)| \le \frac{|\varphi(b)| + |\varphi(a)|}{\lambda_n} + \frac{1}{\lambda_n} \int_a^b |\varphi'(x)| dx$
Comme $\lambda_n \to +\infty$ , par encadrement, on obtient le résultat suivant :
$\boxed{\lim_{n \to +\infty} \int_a^b \sin(\lambda_n x) \varphi(x) dx = 0}$
1. Supposons que $f_n \to f$ simplement sur $[a, b]$ . Pour tout $x \in [a, b]$ et tout $n \in \mathbb{N}$ , on a $|f_n(x)| \le 1$ . La fonction constante égale à $1$ est intégrable sur le segment $[a, b]$ . D'après le théorème de convergence dominée, pour toute fonction de test $\varphi$ continue sur $[a, b]$ , on a : $\lim_{n \to +\infty} \int_a^b f_n(x) \varphi(x) dx = \int_a^b f(x) \varphi(x) dx$
  D'après la question 1 (par densité de $\mathcal{C}^1$ dans $\mathcal{C}^0$ ou en reprenant l'argument), la limite est nulle. D'où :
  $\boxed{\forall \varphi \in \mathcal{C}^0([a, b], \mathbb{R}), \int_a^b f(x) \varphi(x) dx = 0}$
2. En choisissant des fonctions $\varphi$ judicieuses (ou en invoquant le lemme fondamental du calcul des variations), on en déduit que $f$ est nulle. Plus simplement, si on suppose la convergence simple vers $f$ , alors $f$ doit vérifier cette propriété d'orthogonalité à toute fonction continue.
Si $f_n \to 0$ simplement, alors $f_n^2 \to 0$ simplement également. En utilisant à nouveau le TCD, on devrait avoir : $\lim_{n \to +\infty} \int_a^b \sin^2(\lambda_n x) dx = \int_a^b 0 dx = 0$
Or, utilisons la linéarisation :
$\sin^2(\lambda_n x) = \frac{1 - \cos(2\lambda_n x)}{2}$
Calculons l'intégrale :
$\int_a^b \sin^2(\lambda_n x) dx = \frac{b-a}{2} - \frac{1}{2} \int_a^b \cos(2\lambda_n x) dx$
Par le même raisonnement qu'à la question 1, l'intégrale du cosinus tend vers $0$ car $2\lambda_n \to +\infty$ . Ainsi :
$\boxed{\lim_{n \to +\infty} \int_a^b \sin^2(\lambda_n x) dx = \frac{b-a}{2}}$
Comme $b > a$ , on a $\frac{b-a}{2} \neq 0$ , ce qui contredit la convergence vers $0$ .
La convergence uniforme sur $[a, b]$ implique la convergence simplement sur $[a, b]$ . Puisque la convergence simple est impossible, on conclut : $\boxed{\text{La suite } (f_n) \text{ ne converge uniformément sur aucun segment non trivial.}}$

Confondre la limite de l'intégrale (qui est nulle) avec la limite simple de la fonction (qui n'existe pas).

La méthode du passage au carré pour interdire la convergence vers zéro d'une suite oscillante.