Convergence uniforme et comparaison série-intégrale

Résolution.

1. Soit $x \in \mathbb{R}^+$. Pour tout $k \in \mathbb{N}$, la formule du cours (ou une intégration par parties directe) donne :
   $$\int_{x+k}^{x+k+1} f(t)   \mathrm{d}t = \left[ (t-(x+k+1))f(t) \right]_{x+k}^{x+k+1} - \int_{x+k}^{x+k+1} (t-(x+k+1))f'(t)   \mathrm{d}t$$
   Ce qui se réécrit :
   $$f(x+k) = \int_{x+k}^{x+k+1} f(t)   \mathrm{d}t + \int_{x+k}^{x+k+1} (t-x-k-1)f'(t)   \mathrm{d}t$$
   L'intégrale $\int_0^{+\infty} f(t)   \mathrm{d}t$ converge par hypothèse. De plus, $|(t-x-k-1)f'(t)| \le |f'(t)|$ pour $t \in [x+k, x+k+1]$. Comme $f'$ est intégrable sur $\mathbb{R}^+$, la série des intégrales des dérivées converge absolument. Ainsi, $u_k(x)$ est la somme du terme général d'une série convergente, donc $\sum u_n(x)$ converge.

2. Notons $R_n(x) = \sum_{k=n}^{+\infty} u_k(x)$ le reste de la série. D'après la relation précédente :
   $$R_n(x) = \sum_{k=n}^{+\infty} \int_{x+k}^{x+k+1} f(t)   \mathrm{d}t + \sum_{k=n}^{+\infty} \int_{x+k}^{x+k+1} (t-x-k-1)f'(t)   \mathrm{d}t$$
   Par la relation de Chasles, on obtient :
   $$R_n(x) = \int_{x+n}^{+\infty} f(t)   \mathrm{d}t + \sum_{k=n}^{+\infty} \int_{x+k}^{x+k+1} (t-x-k-1)f'(t)   \mathrm{d}t$$
   Majorons chaque terme indépendamment de $x$ :
   $$\left| \int_{x+n}^{+\infty} f(t)   \mathrm{d}t \right| \le \sup_{y \ge n} \left| \int_{y}^{+\infty} f(t)   \mathrm{d}t \right|$$
   Comme $\int_0^{+\infty} f$ converge, le terme de droite tend vers 0 quand $n \to +\infty$. Pour le second terme :
   $$\left| \sum_{k=n}^{+\infty} \int_{x+k}^{x+k+1} (t-x-k-1)f'(t)   \mathrm{d}t \right| \le \sum_{k=n}^{+\infty} \int_{x+k}^{x+k+1} |f'(t)|   \mathrm{d}t = \int_{x+n}^{+\infty} |f'(t)|   \mathrm{d}t \le \int_{n}^{+\infty} |f'(t)|   \mathrm{d}t$$
   Comme $f'$ est intégrable, ce dernier terme tend vers 0 quand $n \to +\infty$. On en déduit que $\sup_{x \in \mathbb{R}^+} |R_n(x)| \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$, d'où :
   $$\boxed{ \sum u_n \text{ converge uniformément sur } \mathbb{R}^+ }$$

3. 1. Puisque $f''$ est intégrable sur $\mathbb{R}^+$, la fonction $f'$ admet une limite finie $L$ en $+\infty$ car $f'(t) = f'(0) + \int_0^t f''(s)   \mathrm{d}s$. Si $L \neq 0$, alors $f(t) \sim Lt$ au voisinage de $+\infty$, ce qui contredirait la convergence de $\int_0^{+\infty} f(t)   \mathrm{d}t$. Donc $L=0$. De même, comme $f'$ est intégrable et tend vers 0, $f$ admet une limite en $+\infty$. Cette limite est nécessairement nulle par convergence de l'intégrale. On a donc $\boxed{ \lim_{t \to +\infty} f'(t) = 0 }$ et $\boxed{ \lim_{t \to +\infty} f(t) = 0 }$.

   2. On applique le même raisonnement à $f'$. Par intégration par parties :
      $$\int_{x+k}^{x+k+1} f'(t)   \mathrm{d}t = [f(t)]_{x+k}^{x+k+1} = f(x+k+1) - f(x+k)$$
      En utilisant la relation établie à la question 1 pour $f'$, on a :
      $$u_k'(x) = f'(x+k) = (f(x+k+1) - f(x+k)) + \int_{x+k}^{x+k+1} (t-x-k-1)f''(t)   \mathrm{d}t$$
      Sommons pour $k$ allant de $n$ à $N$ :
      $$\sum_{k=n}^{N} u_k'(x) = f(x+N+1) - f(x+n) + \sum_{k=n}^{N} \int_{x+k}^{x+k+1} (t-x-k-1)f''(t)   \mathrm{d}t$$
      En faisant tendre $N$ vers $+\infty$ et en utilisant $\lim_{t \to +\infty} f(t) = 0$ :
      $$\sum_{k=n}^{+\infty} u_k'(x) = -f(x+n) + \int_{x+n}^{+\infty} (t-\lfloor t-x \rfloor - x - 1)f''(t)   \mathrm{d}t$$
      On majore le reste :
      $$\left| \sum_{k=n}^{+\infty} u_k'(x) \right| \le |f(x+n)| + \int_{x+n}^{+\infty} |f''(t)|   \mathrm{d}t \le \sup_{y \ge n} |f(y)| + \int_{n}^{+\infty} |f''(t)|   \mathrm{d}t$$
      Ces deux termes tendent vers 0 indépendamment de $x$ quand $n \to +\infty$.
      $$\boxed{ \sum u_n' \text{ converge uniformément sur } \mathbb{R}^+ }$$