Équation fonctionnelle par séries de fonctions

Soit $a \in \mathbb{R}$ un paramètre de translation et $\lambda \in ]-1,1[$ . On considère une fonction $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ .

On s'intéresse à l'équation fonctionnelle d'inconnue $F : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ :

\forall x \in \mathbb{R},   F(x) - \lambda F(x+a) = f(x)

On suppose que $f$ est continue et bornée sur $\mathbb{R}$ . Montrer qu'il existe une unique fonction $F$ continue et bornée sur $\mathbb{R}$ vérifiant l'équation.
On suppose désormais que $f$ est lipschitzienne sur $\mathbb{R}$ . Montrer qu'il existe une unique fonction $F$ lipschitzienne sur $\mathbb{R}$ satisfaisant l'équation.

1.

Pour l'unicité, considérer la différence de deux solutions et itérer la relation de récurrence induite.

2.

Pour l'existence, chercher $F$ sous la forme d'une série de fonctions $\sum_{n=0}^{+\infty} \lambda^n f(x+na)$ .

3.

Utiliser les théorèmes de continuité des séries de fonctions (convergence normale).

Idées clés

•

Utilisation d'une série géométrique pour inverser l'opérateur de décalage.

•

Convergence normale pour la continuité.

•

Conservation du caractère lipschitzien par sommation.

1. Cas d'une fonction continue et bornée.

Unicité. Supposons que $F_1$ et $F_2$ soient deux solutions continues et bornées. Posons $G = F_1 - F_2$ . Par linéarité, $G$ vérifie :

\forall x \in \mathbb{R},   G(x) = \lambda G(x+a)

Par une récurrence immédiate, on obtient pour tout $n \in \mathbb{N}$ :

G(x) = \lambda^n G(x+na)

Comme $G$ est bornée, notons $M = \sup_{\mathbb{R}} |G|$ . On a :

|G(x)| \leq |\lambda|^n M

Comme $|\lambda| < 1$ , en faisant tendre $n$ vers $+\infty$ , on obtient $G(x) = 0$ . D'où $\boxed{F_1 = F_2}$ .

Existence. Considérons la série de fonctions $\sum u_n$ définie par $u_n(x) = \lambda^n f(x+na)$ . Comme $f$ est bornée par $\|f\|_{\infty}$ , on a :

\forall x \in \mathbb{R},   |u_n(x)| \leq |\lambda|^n \|f\|_{\infty}

Il y a convergence normale sur $\mathbb{R}$ car la série géométrique $\sum |\lambda|^n$ converge. On peut donc définir :

\boxed{F(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \lambda^n f(x+na)}

Puisque chaque $u_n$ est continue et que la série converge normalement, $F$ est continue. De plus, $|F(x)| \leq \frac{\|f\|_{\infty}}{1-|\lambda|}$ , donc $F$ est bornée. Vérifions l'équation :

F(x) - \lambda F(x+a) = \sum_{n=0}^{+\infty} \lambda^n f(x+na) - \sum_{n=0}^{+\infty} \lambda^{n+1} f(x+(n+1)a) = f(x)

Le résultat est validé par télescopage de la somme.

2. Cas d'une fonction lipschitzienne.

Soit $k$ le rapport de lipschitz de $f$ . L'unicité reste acquise (une fonction lipschitzienne est localement bornée, mais ici la preuve d'unicité précédente fonctionne dès que la solution est bornée ou croît moins vite que $(1/\lambda)^n$ ). Reprenons la fonction $F$ définie précédemment. Pour tous $x, y \in \mathbb{R}$ :

|F(x) - F(y)| = \left| \sum_{n=0}^{+\infty} \lambda^n (f(x+na) - f(y+na)) \right|

Par l'inégalité triangulaire et le caractère lipschitzien de $f$ :

|F(x) - F(y)| \leq \sum_{n=0}^{+\infty} |\lambda|^n |f(x+na) - f(y+na)| \leq \sum_{n=0}^{+\infty} |\lambda|^n k |x-y|

On en déduit :

\boxed{|F(x) - F(y)| \leq \frac{k}{1-|\lambda|} |x-y|}

$F$ est donc lipschitzienne de rapport $K = \frac{k}{1-|\lambda|}$ .

Oublier de justifier la continuité par la convergence uniforme.

Résolution par série de Neumann pour les opérateurs de décalage.