Série de carrés de sinus et dérivabilité

Résolution.

1. Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ et tout $x \in \mathbb{R}$, on pose $u_n(x) = \frac{\sin^2(nx)}{n^2}$. On a immédiatement la majoration suivante :
   $$\forall x \in \mathbb{R},   |u_n(x)| \leq \frac{1}{n^2}$$
   La série numérique $\sum \frac{1}{n^2}$ est une série de Riemann convergente. La série de fonctions $\sum u_n$ converge donc normalement, et donc uniformément, sur $\mathbb{R}$. Comme chaque fonction $u_n$ est continue sur $\mathbb{R}$, on en déduit que :
   $$\boxed{f \text{ est définie et continue sur } \mathbb{R}}$$

2. On remarque que $f(0) = 0$ et que $f$ est une fonction paire (car chaque $u_n$ l'est). Si $f$ était dérivable en 0, alors son taux d'accroissement en 0 tendrait vers $f'(0) = 0$. Étudions le taux d'accroissement $\tau(x)$ pour $x > 0$ :
   $$\tau(x) = \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sin^2(nx)}{n^2 x}$$
   Tous les termes de la somme sont positifs. Pour minorer $\tau(x)$, nous limitons la somme aux indices $n$ tels que $nx \in [0, \pi/2]$. Soit $N_x = \lfloor \frac{\pi}{2x} \rfloor$. Pour $1 \leq n \leq N_x$, on a $nx \leq \frac{\pi}{2}$, et on peut utiliser l'inégalité $\sin(nx) \geq \frac{2}{\pi}nx$. En minorant par la somme partielle, on obtient pour $x > 0$ :
   $$\tau(x) \geq \sum_{n=1}^{N_x} \frac{(2nx/\pi)^2}{n^2 x} = \sum_{n=1}^{N_x} \frac{4n^2 x^2}{\pi^2 n^2 x}$$
   On simplifie l'expression sous la somme :
   $$\tau(x) \geq \sum_{n=1}^{N_x} \frac{4x}{\pi^2} = \frac{4x}{\pi^2} N_x = \frac{4x}{\pi^2} \left\lfloor \frac{\pi}{2x} \right\rfloor$$
   Or, on sait que $\lfloor y \rfloor \sim y$ quand $y \to +\infty$. Ainsi, quand $x \to 0^+$ :
   $$\frac{4x}{\pi^2} \left\lfloor \frac{\pi}{2x} \right\rfloor \sim \frac{4x}{\pi^2} \cdot \frac{\pi}{2x} = \frac{2}{\pi}$$
   Par conséquent :
   $$\liminf_{x \to 0^+} \tau(x) \geq \frac{2}{\pi} > 0$$
   Ceci contredit le fait que $f'(0)$ devrait être nul par parité.
   $$\boxed{f \text{ n'est pas dérivable en } 0}$$