Série lacunaire et équation fonctionnelle

Résolution.

1. Soit $u_n(x) = \frac{\sin(2^n x)}{2^n}$. On a $\|u_n\|_\infty = \frac{1}{2^n}$. La série $\sum \frac{1}{2^n}$ est une série géométrique convergente, donc la série de fonctions converge normalement sur $\mathbb{R}$. Comme les fonctions $u_n$ sont continues, la somme $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.

2. En séparant le premier terme ($n=0$) du reste de la somme :
   $$f(x) = \sin(x) + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sin(2^n x)}{2^n}$$
   On effectue un décalage d'indice $j = n-1$ dans la somme :
   $$f(x) = \sin(x) + \sum_{j=0}^{+\infty} \frac{\sin(2^{j+1} x)}{2^{j+1}} = \sin(x) + \frac{1}{2} \sum_{j=0}^{+\infty} \frac{\sin(2^j (2x))}{2^j}$$
   D'où la relation :
   $$\boxed{f(x) = \sin(x) + \frac{1}{2} f(2x)}$$

3. Supposons $f$ dérivable en 0. En dérivant la relation précédente en 0 (en utilisant $f'(2x) \cdot 2$ pour la partie droite) :
   $$f'(0) = \cos(0) + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot f'(0)$$
   Ce qui donne :
   $$f'(0) = 1 + f'(0)$$
   Cette équation $0 = 1$ est absurde.
   $$\boxed{f \text{ n'est pas dérivable en } 0}$$

4. Soit $x_0 = \frac{k \pi}{2^m}$. Si $f$ était dérivable en $x_0$, alors par la relation $f(2x) = 2f(x) - 2\sin(x)$, $f$ serait dérivable en $2x_0$. Par récurrence, $f$ serait dérivable en $2^m x_0 = k\pi$. Or $f(k\pi + h) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{\sin(2^n k\pi + 2^n h)}{2^n}$. Pour $n \geq 1$, $2^n k$ est un entier pair, donc $\sin(2^n k\pi + 2^n h) = \sin(2^n h)$. Pour $n=0$, $\sin(k\pi + h) = (-1)^k \sin(h)$. Ainsi, $f(k\pi + h) = (-1)^k \sin(h) + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sin(2^n h)}{2^n} = (-1)^k \sin(h) + (f(h) - \sin(h))$. Si $f$ était dérivable en $k\pi$, alors comme $\sin$ l'est, $f(h)$ serait dérivable en $h=0$, ce qui contredit la question précédente.
   $$\boxed{f \text{ n'est dérivable en aucun point dyadique } \frac{k\pi}{2^m}}$$