Étude d'une série de fonctions rationnelles

Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ et tout $x$ tel que le dénominateur ne s'annule pas, on pose :

f_n(x) = \frac{1}{n + n^2 x}

On considère la fonction

S

définie par la somme de la série de fonctions

\sum f_n

.

Déterminer le domaine de définition $\mathcal{D}_S$ de la fonction $S$ .
Montrer que $S$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur l'intervalle $]0, +\infty[$ .
On donne $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$ . Déterminer un équivalent de $S(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ .

1.

Pour le domaine, étudier la convergence simple sur $\mathbb{R}^+$ , puis identifier les pôles pour $x < 0$ .

2.

Pour la classe $\mathcal{C}^1$ , utiliser le théorème de dérivation des séries de fonctions en montrant la convergence normale de la série des dérivées sur tout segment de $]0, +\infty[$ .

3.

Pour l'équivalent, étudier la limite de la fonction $g(x) = x S(x)$ en $+\infty$ en utilisant un argument de convergence dominée pour les séries ou le théorème de la double limite.

Idées clés

•

Convergence normale sur des segments pour la régularité $\mathcal{C}^k$ .

•

Théorème de la double limite (ou convergence dominée) pour les équivalents.

•

Lien entre comportement asymptotique et série de Riemann.

1. Domaine de définition.

Pour tout $n \geq 1$ , la fonction $f_n : x \mapsto \frac{1}{n(1+nx)}$ est définie sur $\mathbb{R} \setminus \{ -1/n \}$ .

Si $x > 0$ , alors $n+n^2x > n^2x > 0$ . On a donc $|f_n(x)| \leq \frac{1}{xn^2}$ .

La série $\sum \frac{1}{n^2}$ converge, donc par comparaison, la série $\sum f_n(x)$ converge absolument pour tout $x > 0$ .

Si $x = 0$ , $f_n(0) = \frac{1}{n}$ . La série $\sum \frac{1}{n}$ diverge (série harmonique).

Si $x < 0$ , il existe $n_0$ tel que pour $n \geq n_0$ , $1+nx < 0$ . Alors $f_n(x) \sim \frac{1}{xn^2}$ , ce qui assure la convergence. Cependant, pour chaque $n$ , $x = -1/n$ est une valeur interdite.

Conclusion :

\boxed{ \mathcal{D}_S = \mathbb{R} \setminus \left( \{0\} \cup \left\{ -\frac{1}{n}, n \in \mathbb{N}^* \right\} \right) }

2. Régularité $\mathcal{C$ ^1 $C^{1}$ sur $]0, +\infty[$ .}

Soit $a > 0$ . Étudions la série sur $[a, +\infty[$ . Les fonctions $f_n$ sont de classe $\mathcal{C}^1$ sur $]0, +\infty[$ .

On calcule la dérivée :

\forall x > 0,   f_n'(x) = - \frac{n^2}{(n+n^2x)^2} = - \frac{n^2}{n^2(1+nx)^2} = - \frac{1}{(1+nx)^2}

Pour tout $x \in [a, +\infty[$ , on a l'expression suivante :

|f_n'(x)| = \frac{1}{(1+nx)^2} \leq \frac{1}{n^2 a^2}

Comme la série numérique $\sum \frac{1}{n^2}$ converge, la série de fonctions $\sum f_n'$ converge normalement sur tout segment $[a, b] \subset ]0, +\infty[$ .

D'après le théorème de dérivation des séries de fonctions : $S$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur tout segment inclus dans $]0, +\infty[$ .

\boxed{ S \text{ est de classe } \mathcal{C}^1 \text{ sur } ]0, +\infty[ }

3. Équivalent en $+\infty$ .

Analysons le comportement de la quantité $x S(x)$ lorsque $x \to +\infty$ . On peut écrire :

x S(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x}{n+n^2x} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\frac{n}{x} + n^2}

Posons $u_n(x) = \frac{1}{n/x + n^2}$ . Pour chaque $n \in \mathbb{N}^*$ , on a :

\lim_{x \to +\infty} u_n(x) = \frac{1}{n^2}

De plus, pour tout $x \geq 1$ et tout $n \geq 1$ :

|u_n(x)| = \frac{1}{\frac{n}{x} + n^2} \leq \frac{1}{n^2}

La série $\sum \frac{1}{n^2}$ est une série convergente et ne dépend pas de $x$ . Par le théorème de convergence dominée (version séries de fonctions) ou le théorème de la double limite :

\lim_{x \to +\infty} x S(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \left( \lim_{x \to +\infty} u_n(x) \right) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}

En utilisant la valeur fournie dans l'énoncé :

\lim_{x \to +\infty} x S(x) = \frac{\pi^2}{6}

Par conséquent, on obtient l'équivalent recherché :

\boxed{ S(x) \underset{x \to +\infty}{\sim} \frac{\pi^2}{6x} }

Divergence en 0 et besoin de segments pour la convergence normale des dérivées.

Utilisation de x*S(x) pour extraire un équivalent par interversion limite-somme.