Convergence simple nulle part uniforme

Pour $n \in \mathbb{N}^*$ , on définit la fonction $f_n : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ par :

f_n(x) = \begin{cases} nx & \text{si } x \in [0, 1/n] 2 - nx & \text{si } x \in [1/n, 2/n] 0 & \text{sinon} \end{cases}

Soit

(r_m)_{m \geq 1}

une énumération des nombres rationnels

\mathbb{Q}

(ou plus généralement une suite dense dans

\mathbb{R}

). On pose, pour

n \geq 1

et

x \in \mathbb{R}

:

g_n(x) = \sum_{m=1}^{+\infty} \frac{f_n(x - r_m)}{2^m}

Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ , la fonction $g_n$ est définie et continue sur $\mathbb{R}$ .
Déterminer la limite simple de la suite de fonctions $(g_n)_{n \geq 1}$ .
Établir que pour tout $p \in \mathbb{N}^*$ et tout $n \in \mathbb{N}^*$ , on a : $g_n(r_p + 1/n) \geq \frac{1}{2^p}$ .
La suite $(g_n)$ converge-t-elle uniformément sur un intervalle $[a, b]$ avec $a < b$ ?

1.

Pour la continuité, utiliser la convergence normale de la série de fonctions définissant $g_n$ .

2.

Pour la limite simple, utiliser le théorème de convergence dominée pour les séries ou un argument direct sur les restes.

3.

Pour la non-convergence uniforme, utiliser la densité de $\{r_m\}$ pour trouver une valeur de $g_n$ qui ne tend pas vers 0 indépendamment du point choisi.

Idées clés

•

Convergence normale pour la continuité d'une somme de série de fonctions.

•

Interversion limite/somme pour la convergence simple.

•

Utilisation de la densité pour contredire la convergence uniforme.

Résolution.

Définition et continuité de $g_n$ . Pour $n$ fixé, les fonctions $h_m : x \mapsto \frac{f_n(x - r_m)}{2^m}$ sont continues sur $\mathbb{R}$ comme translatées de la fonction "tente" $f_n$ , qui est continue. De plus, comme $0 \leq f_n \leq 1$ , on a pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $\|h_m\|_\infty = \sup_{x \in \mathbb{R}} \left| \frac{f_n(x - r_m)}{2^m} \right| \leq \frac{1}{2^m}$ La série $\sum \frac{1}{2^m}$ étant convergente, la série de fonctions $\sum h_m$ converge normalement sur $\mathbb{R}$ . $\boxed{\text{La série converge normalement sur } \mathbb{R}, \text{ donc } g_n \text{ est continue sur } \mathbb{R}.}$
Convergence simple. Soit $x \in \mathbb{R}$ fixé. Pour chaque $m \geq 1$ , on a $f_n(x - r_m) \to 0$ quand $n \to +\infty$ . En effet, si $x = r_m$ , $f_n(0) = 0$ . Si $x \neq r_m$ , dès que $2/n < |x - r_m|$ , on a $f_n(x - r_m) = 0$ . Par convergence normale (qui implique la convergence uniforme), on peut intervertir la limite et la somme : $\lim_{n \to +\infty} g_n(x) = \sum_{m=1}^{+\infty} \frac{1}{2^m} \lim_{n \to +\infty} f_n(x - r_m) = 0$ $\boxed{(g_n) \text{ converge simplement vers la fonction nulle sur } \mathbb{R}.}$
Minoration locale. Par définition de $g_n$ , tous les termes de la somme sont positifs. En ne gardant que le $p$ -ième terme : $g_n(r_p + 1/n) = \sum_{m=1}^{+\infty} \frac{f_n(r_p + 1/n - r_m)}{2^m} \geq \frac{f_n(r_p + 1/n - r_p)}{2^p} = \frac{f_n(1/n)}{2^p}$ Comme $f_n(1/n) = 1$ , on obtient immédiatement : $\boxed{g_n(r_p + 1/n) \geq \frac{1}{2^p}}$
Étude de la convergence uniforme. Supposons que $(g_n)$ converge uniformément vers 0 sur un intervalle $I = [a, b]$ avec $a < b$ . Alors $\|g_n\|_{\infty, I} = \sup_{x \in I} |g_n(x)|$ devrait tendre vers 0. Par densité de $\mathbb{Q}$ (ou de la suite $(r_m)$ ), il existe $p \in \mathbb{N}^*$ tel que $r_p \in ]a, b[$ . Pour $n$ assez grand, $r_p + 1/n$ appartient encore à $I$ . Or : $\|g_n\|_{\infty, I} \geq g_n(r_p + 1/n) \geq \frac{1}{2^p}$ En passant à la limite sur $n$ , on obtiendrait $0 \geq \frac{1}{2^p}$ , ce qui est absurde. $\boxed{\text{La convergence n'est uniforme sur aucun intervalle non trivial.}}$

Confusion entre convergence de la série et convergence de la suite

Une limite simple de fonctions continues peut être continue sans convergence uniforme