Convergence de séries transformées

Résolution.

1. Première méthode : Inégalité de Cauchy-Schwarz Les termes de la série sont positifs. Pour tout $N \in \mathbb{N}^*$, considérons la somme partielle :
   $$S_N = \sum_{n=1}^N \frac{\sqrt{u_n}}{n^{\alpha}}$$
   D'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz appliquée aux familles $(\sqrt{u_n})_{1 \leq n \leq N}$ et $(n^{-\alpha})_{1 \leq n \leq N}$, on a :
   $$\left( \sum_{n=1}^N \sqrt{u_n} \cdot \frac{1}{n^{\alpha}} \right)^2 \leq \left( \sum_{n=1}^N (\sqrt{u_n})^2 \right) \left( \sum_{n=1}^N \left(\frac{1}{n^{\alpha}}\right)^2 \right)$$
   Ce qui se réécrit :
   $$S_N^2 \leq \left( \sum_{n=1}^N u_n \right) \left( \sum_{n=1}^N \frac{1}{n^{2\alpha}} \right)$$
   Par hypothèse, la série $\sum u_n$ converge, donc ses sommes partielles sont majorées par sa somme $S = \sum_{n=0}^{\infty} u_n$. De plus, puisque $\alpha > \frac{1}{2}$, on a $2\alpha > 1$. La série de Riemann $\sum \frac{1}{n^{2\alpha}}$ est donc convergente. Notons $R$ sa somme. On en déduit que pour tout $N$ :
   $$S_N^2 \leq S \cdot R$$
   La suite des sommes partielles $(S_N)$ est croissante (car $v_n \geq 0$) et majorée par $\sqrt{SR}$.
   $$\boxed{\text{La série } \sum \frac{\sqrt{u_n}}{n^{\alpha}} \text{ est convergente.}}$$

2. Puisque la série $\sum u_n$ converge, son terme général tend vers $0$ :
   $$\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$$
   Comme $u_n > 0$, on en déduit que $\frac{1}{u_n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty$. Posons $X_n = \frac{1}{u_n}$. On souhaite comparer $w_n = e^{-X_n}$ à $u_n = \frac{1}{X_n}$. D'après les limites de croissances comparées, nous savons que :
   $$\lim_{X \to +\infty} X e^{-X} = 0$$
   Par composition de limites, il vient :
   $$\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{u_n} \exp\left( -\frac{1}{u_n} \right) = 0$$
   Ceci signifie que $w_n$ est négligeable devant $u_n$ au voisinage de l'infini :
   $$\boxed{w_n = o(u_n)}$$
   Comme la série $\sum u_n$ est à termes positifs et convergente, le théorème de comparaison des séries à termes positifs assure que :
   $$\boxed{\text{La série } \sum \exp\left( -\frac{1}{u_n} \right) \text{ converge.}}$$