Unicité des coefficients d'une série de Dirichlet

Soit $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de complexes et $(\lambda_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite réelle strictement croissante tendant vers $+\infty$ . On suppose que la série $f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n e^{-\lambda_n x}$ converge pour tout $x > A$ .

Montrer que si $f(x) = 0$ pour tout $x$ assez grand, alors pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $a_n = 0$ .

1.

Raisonner par l'absurde en supposant qu'il existe un premier indice $n_0$ tel que $a_{n_0} \neq 0$ .

2.

Isoler le terme $a_{n_0} e^{-\lambda_{n_0} x}$ et étudier la limite de $f(x) e^{\lambda_{n_0} x}$ quand $x \to +\infty$ .

Idées clés

•

Prépondérance du premier terme non nul pour les grandes valeurs de la variable.

•

Théorème de la limite par convergence uniforme (ou convergence dominée).

Résolution.

Supposons que la suite $(a_n)$ ne soit pas nulle. Comme l'ensemble des indices est une partie de $\mathbb{N}$ , il admet un plus petit élément $n_0$ tel que $a_{n_0} \neq 0$ . On peut alors écrire pour $x > A$ :

f(x) = a_{n_0} e^{-\lambda_{n_0} x} + \sum_{n=n_0+1}^{+\infty} a_n e^{-\lambda_n x}

Multiplions par $e^{\lambda_{n_0} x}$ :

f(x) e^{\lambda_{n_0} x} = a_{n_0} + \sum_{n=n_0+1}^{+\infty} a_n e^{-(\lambda_n - \lambda_{n_0}) x}

Posons $g(x) = \sum_{n=n_0+1}^{+\infty} a_n e^{-(\lambda_n - \lambda_{n_0}) x}$ . C'est une série de Dirichlet associée à la suite de fréquences $(\mu_n) = (\lambda_n - \lambda_{n_0})_{n > n_0}$ . Comme la série de départ converge en $A+1$ , la série définissant $g$ converge uniformément sur $[A+1, +\infty[$ (d'après le théorème de convergence uniforme sur les intervalles de la forme $[x_0, +\infty[$ ).

On peut donc intervertir limite et somme :

\lim_{x \to +\infty} g(x) = \sum_{n=n_0+1}^{+\infty} a_n \left( \lim_{x \to +\infty} e^{-(\lambda_n - \lambda_{n_0}) x} \right)

Puisque $\lambda_n - \lambda_{n_0} > 0$ pour tout $n > n_0$ , chaque limite individuelle est nulle. Ainsi :

\lim_{x \to +\infty} g(x) = 0

Comme par hypothèse $f(x) = 0$ pour $x$ assez grand, on a :

0 = \lim_{x \to +\infty} f(x) e^{\lambda_{n_0} x} = a_{n_0} + 0

On en déduit $\boxed{a_{n_0} = 0}$ , ce qui contredit notre définition de $n_0$ .

Par conséquent, tous les coefficients sont nuls :

\boxed{ \forall n \in \mathbb{N}, a_n = 0 }

Justifier l'interversion limite-somme.

Le premier terme non nul domine à l'infini.