Régularité et équation différentielle d'une série

On considère les deux fonctions suivantes définies par des séries :

g_{\alpha}(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{e^{-n x^{2}}}{n^{\alpha}}   (\alpha \in \mathbb{R})    \text{et}    h(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{e^{-n x}}{1+n^{2}}

Pour $g_\alpha$ $g_{α}$ :
1. Déterminer son domaine de définition en fonction de $\alpha$ .
2. Étudier sa continuité et sa dérivabilité sur $]0, +\infty[$ .
Pour $h$ $h$ :
1. Montrer que $h$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $]0, +\infty[$ .
2. Établir une équation différentielle linéaire du second ordre vérifiée par $h$ sur $]0, +\infty[$ , dont le second membre sera une fonction usuelle simple.

1.

Pour $g_\alpha$ , séparer le cas $x=0$ du cas $x > 0$ . Sur $]0, +\infty[$ , la convergence est très rapide.

2.

Pour la dérivabilité, utiliser le théorème de dérivation sous le signe somme en vérifiant la convergence normale de la série des dérivées sur tout segment $[a, b] \subset \mathbb{R}_+^*$ .

3.

Pour l'équation différentielle, calculer $h''(x) + h(x)$ et reconnaître une série géométrique.

Idées clés

•

Théorème de classe $\mathcal{C}^k$ pour les séries de fonctions.

•

Convergence normale locale sur $]0, +\infty[$ .

•

Sommation de séries géométriques.

Résolution.

Étude de $g_\alpha$ .
1. Domaine de définition. Si $x > 0$ , alors $e^{-nx^2} = (e^{-x^2})^n$ est le terme général d'une série géométrique convergente. Donc $g_\alpha(x)$ existe pour tout $\alpha \in \mathbb{R}$ . Si $x = 0$ , $g_\alpha(0) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^\alpha}$ , qui converge si et seulement si $\alpha > 1$ (série de Riemann). Si $x < 0$ , le terme général tend vers $+\infty$ , donc la série diverge. $\boxed{D_{g_\alpha} = \begin{cases} ]0, +\infty[ & \text{si } \alpha \le 1 [0, +\infty[ & \text{si } \alpha > 1 \end{cases}}$
2. Régularité sur $]0, +\infty[$ . Soit $[a, b] \subset ]0, +\infty[$ . On a pour tout $x \in [a, b]$ : $|u_n(x)| = \left| \frac{e^{-nx^2}}{n^\alpha} \right| \le \frac{e^{-na^2}}{n^\alpha}$ C'est le terme d'une série numérique convergente, donc il y a convergence normale sur tout segment. $g_\alpha$ est donc continue sur $]0, +\infty[$ . Dérivons le terme général : $u_n'(x) = -2nx \frac{e^{-nx^2}}{n^\alpha} = -2x n^{1-\alpha} e^{-nx^2}$ . Pour $x \in [a, b]$ , $|u_n'(x)| \le 2b n^{1-\alpha} e^{-na^2}$ . Par croissance comparée, $2b n^{1-\alpha} e^{-na^2} = o(1/n^2)$ , donc la série des dérivées converge normalement sur tout segment. $\boxed{g_\alpha \text{ est de classe } \mathcal{C}^1 \text{ sur } ]0, +\infty[}$
Étude de $h$ .
1. Classe $\mathcal{C$ ^2 $C^{2}$ .} Le terme général est $v_n(x) = \frac{e^{-nx}}{1+n^2}$ . $v_n'(x) = \frac{-ne^{-nx}}{1+n^2}$ et $v_n''(x) = \frac{n^2e^{-nx}}{1+n^2}$ . Sur tout segment $[a, b] \subset ]0, +\infty[$ , on a $|v_n''(x)| \le e^{-na}$ . Comme $\sum e^{-na}$ converge, il y a convergence normale de la série des dérivées secondes sur tout segment. $\boxed{h \text{ est de classe } \mathcal{C}^2 \text{ sur } ]0, +\infty[}$
2. Équation différentielle. Calculons $h''(x) + h(x)$ pour $x > 0$ : $h''(x) + h(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n^2 e^{-nx}}{1+n^2} + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{e^{-nx}}{1+n^2}$ $h''(x) + h(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n^2+1}{1+n^2} e^{-nx} = \sum_{n=1}^{+\infty} (e^{-x})^n$ On reconnaît une série géométrique de raison $q = e^{-x}$ . Comme $x > 0$ , $|q| < 1$ : $\sum_{n=1}^{+\infty} (e^{-x})^n = \frac{e^{-x}}{1-e^{-x}} = \frac{1}{e^x - 1}$ $h$ est donc solution de l'équation différentielle : $\boxed{y'' + y = \frac{1}{e^x - 1}}$

Bien vérifier l'indice de départ (n=0 ou n=1) pour la somme géométrique.

La régularité locale s'obtient par convergence normale sur tout segment.