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Asymptotique des moyennes et divergence

Cesàroasymptotiquesommation équivalentsSommation des équivalentsRaisonnement par l'absurde

Soit (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}} une suite de réels strictement positifs. On suppose qu'il existe un réel l>0l > 0 tel que :

1nun∑k=1nuk→n→+∞l\frac{1}{n u_{n}} \sum_{k=1}^{n} u_{k} \xrightarrow[n \to +\infty]{} l

  1. Démontrer que la série ∑un\sum u_{n} est divergente.
  2. On pose, pour tout n∈N∗n \in \mathbb{N}^*, Sn=∑k=1nukS_n = \sum_{k=1}^n u_k.
    1. Déterminer la limite de nSn−(n−1)Sn−1nun\frac{n S_n - (n-1)S_{n-1}}{n u_n} quand n→+∞n \to +\infty.
    2. En déduire que ∑k=1nkuk∼n→+∞ll+1n2un\sum_{k=1}^n k u_k \underset{n \to +\infty}{\sim} \frac{l}{l+1} n^2 u_n.

1.

Pour la question 1, raisonner par l'absurde. Si la série convergeait vers SS, quelle serait l'asymptotique de unu_n ?

2.

Pour la question 2(a), exprimer SnS_n et Sn−1S_{n-1} en fonction de unu_n et un−1u_{n-1} en utilisant l'hypothèse.

3.

Pour la question 2(b), utiliser le lemme de Césarò sous sa forme sommatoire : si an∼bna_n \sim b_n et ∑bn\sum b_n diverge, alors les sommes partielles sont équivalentes.

Idées clés

•

Raisonnement par l'absurde pour la divergence.

•

Manipulation des sommes partielles et relations de récurrence asymptotiques.

•

Théorème de sommation des équivalents.

Résolution.

  1. Divergence de la série : Supposons par l'absurde que ∑un\sum u_n converge vers S>0S > 0. L'hypothèse donne alors :
    Snun∼l  ⟹  un∼Sl⋅1n\frac{S}{n u_n} \sim l \implies u_n \sim \frac{S}{l} \cdot \frac{1}{n}

    Or, la série ∑1n\sum \frac{1}{n} diverge. Par comparaison de séries à termes positifs, ∑un\sum u_n devrait diverger. C'est une contradiction.

    ∑un diverge\boxed{\sum u_n \text{ diverge}}

  2. Comportement asymptotique :

    1. Notons vn=nSn−(n−1)Sn−1v_n = n S_n - (n-1)S_{n-1}. On a :
      vn=n(Sn−1+un)−(n−1)Sn−1=Sn−1+nunv_n = n(S_{n-1} + u_n) - (n-1)S_{n-1} = S_{n-1} + n u_n
      On cherche la limite de vnnun=Sn−1nun+1\frac{v_n}{n u_n} = \frac{S_{n-1}}{n u_n} + 1. D'après l'énoncé, Sn∼lnunS_n \sim l n u_n. Comme ∑un\sum u_n diverge, on a un/Sn→0u_n/S_n \to 0 (car un∼Sn/(ln)u_n \sim S_n/(ln) et 1/(ln)→01/(ln) \to 0). Ainsi Sn−1=Sn−un∼SnS_{n-1} = S_n - u_n \sim S_n. On en déduit :
      Sn−1nun∼Snnun→l\frac{S_{n-1}}{n u_n} \sim \frac{S_n}{n u_n} \to l
      D'où :
      nSn−(n−1)Sn−1nun→n→+∞l+1\boxed{\frac{n S_n - (n-1)S_{n-1}}{n u_n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} l+1}

    2. Posons wn=nunw_n = n u_n. La question précédente montre que vn∼(l+1)wnv_n \sim (l+1) w_n. Comme ∑wn=∑nun\sum w_n = \sum n u_n diverge (car nun∼Sn/l→+∞n u_n \sim S_n/l \to +\infty), on peut sommer les équivalents :
      ∑k=1nvk∼(l+1)∑k=1nwk\sum_{k=1}^n v_k \sim (l+1) \sum_{k=1}^n w_k

      La somme de gauche est télescopique : ∑k=1nvk=nSn\sum_{k=1}^n v_k = n S_n. Donc :

      nSn∼(l+1)∑k=1nkukn S_n \sim (l+1) \sum_{k=1}^n k u_k

      En utilisant Sn∼lnunS_n \sim l n u_n, on obtient :

      n(lnun)∼(l+1)∑k=1nkukn(l n u_n) \sim (l+1) \sum_{k=1}^n k u_k

      D'où le résultat final :

      ∑k=1nkuk∼ll+1n2un\boxed{\sum_{k=1}^n k u_k \sim \frac{l}{l+1} n^2 u_n}

S'assurer de la divergence de la série avant de sommer les équivalents.

Si u_n est lié à sa somme partielle de façon linéaire/asymptotique, la série diverge souvent comme une série harmonique.