Série associée à une moyenne de racines

Pour tout entier $n \in \mathbb{N}^*$ , on définit le terme général :

u_{n} = \frac{1}{\sum_{k=1}^n \sqrt[k]{k}}

Déterminer la nature de la série $\sum u_{n}$ .
On considère la suite $(v_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie par $v_n = \frac{u_n}{n}$ . Quelle est la nature de la série $\sum v_n$ ?

1.

Pour la question 1, commencer par chercher un équivalent simple de la suite $(\sqrt[n]{n})$ . Utiliser ensuite le théorème de comparaison des sommes partielles de séries divergentes.

2.

Pour la question 2, utiliser l'équivalent obtenu précédemment pour appliquer les critères de comparaison des séries à termes positifs (séries de Riemann).

Idées clés

•

Étude du terme général $\sqrt[n]{n}$ via l'exponentielle.

•

Sommation des équivalents pour les séries divergentes.

•

Comparaison aux séries de Riemann.

Résolution.

Analysons d'abord le comportement de $\sqrt[n]{n}$ quand $n \to +\infty$ : On a $\sqrt[n]{n} = \exp\left( \frac{\ln n}{n} \right)$ . Comme $\frac{\ln n}{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$ par croissance comparée, on en déduit : $\sqrt[n]{n} = 1 + \frac{\ln n}{n} + o\left( \frac{\ln n}{n} \right)$ Ainsi, $\lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{n} = 1$ . La série $\sum 1$ est trivialement divergente. D'après le théorème de sommation des équivalents pour les séries à termes positifs divergentes : $\sum_{k=1}^n \sqrt[k]{k} \sim \sum_{k=1}^n 1 = n$ Par conséquent, pour le terme général $u_n$ : $\boxed{u_n \sim \frac{1}{n}}$ Par comparaison avec la série harmonique (qui diverge), on conclut que la série $\sum u_n$ diverge.
Étudions maintenant la suite $v_n = \frac{u_n}{n}$ . En utilisant l'équivalent de $u_n$ obtenu à la question précédente : $\boxed{v_n \sim \frac{1}{n^2}}$ On reconnaît le terme général d'une série de Riemann convergente (exposant $2 > 1$ ). Comme $v_n \ge 0$ , le théorème de comparaison assure que la série $\sum v_n$ converge.

Oublier de vérifier la divergence de la série pour sommer les équivalents.

Théorème de sommation des équivalents pour les séries divergentes.