Produit et inverse de séries positives

Soient $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ deux suites de réels positifs.

On suppose que les séries $\sum u_n$ et $\sum v_n$ sont convergentes. Déterminer la nature de la série de terme général $\sqrt{u_n v_n}$ .
Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de réels positifs. On définit, pour tout $n \in \mathbb{N}$ , le terme : $v_n = \frac{1}{1 + n^2 u_n}$ Montrer que les séries $\sum u_n$ et $\sum v_n$ ne peuvent pas être simultanément convergentes.

1.

Pour la première question, utiliser l'inégalité arithmético-géométrique ou l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour les sommes partielles.

2.

Pour la seconde question, raisonner par l'absurde et utiliser le résultat de la question 1 pour minorer $\sqrt{u_n v_n}$ afin de le comparer à la série harmonique.

Idées clés

•

Inégalité $2\sqrt{ab} \le a+b$ (comparaison de séries à termes positifs).

•

Inégalité de Cauchy-Schwarz pour les séries.

•

Comparaison avec la série harmonique divergente.

Résolution.

Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , par l'inégalité arithmético-géométrique, nous avons : $0 \le \sqrt{u_n v_n} \le \frac{1}{2}(u_n + v_n)$ Puisque les séries $\sum u_n$ et $\sum v_n$ convergent, par linéarité, la série $\sum \frac{1}{2}(u_n + v_n)$ converge également. D'après le théorème de comparaison des séries à termes positifs : $\boxed{\text{La série } \sum \sqrt{u_n v_n} \text{ est convergente.}}$
Raisonnons par l'absurde en supposant que $\sum u_n$ $\sum u_{n}$ et $\sum v_n$ $\sum v_{n}$ convergent toutes les deux. D'après la question précédente, la série $\sum \sqrt{u_n v_n}$ $\sum u_{n} v_{n}$ serait alors convergente. Exprimons le produit $u_n v_n$ $u_{n} v_{n}$ :
$u_n v_n = \frac{u_n}{1 + n^2 u_n}$
Considérons maintenant l'identité suivante pour tout $n \ge 1$ $n \geq 1$ :
$\frac{1}{n} = \sqrt{v_n} \cdot \sqrt{\frac{1}{n^2} + u_n}$
En utilisant l'inégalité $\sqrt{a+b} \le \sqrt{a} + \sqrt{b}$ $a + b \leq a + b$ pour $a, b \ge 0$ $a, b \geq 0$ , on obtient :
$\frac{1}{n} \le \sqrt{v_n} \left( \frac{1}{n} + \sqrt{u_n} \right) = \frac{\sqrt{v_n}}{n} + \sqrt{u_n v_n}$
Analysons la convergence des termes de droite :
- Par l'inégalité de Cauchy-Schwarz, comme $\sum v_n$ et $\sum \frac{1}{n^2}$ convergent, la série $\sum \frac{\sqrt{v_n}}{n}$ converge.
- Par hypothèse (et question 1), la série $\sum \sqrt{u_n v_n}$ converge.
Ainsi, la série $\sum \left( \frac{\sqrt{v_n}}{n} + \sqrt{u_n v_n} \right)$ $\sum (\frac{v _{n}}{n} + u_{n} v_{n})$ converge. Par comparaison, la série harmonique $\sum \frac{1}{n}$ $\sum \frac{1}{n}$ convergerait, ce qui est absurde.
$\boxed{\text{Les deux séries ne peuvent pas converger simultanément.}}$

Majoration de la racine d'une somme par la somme des racines.

La convergence de deux séries positives entraîne celle de la série des racines des produits.