Théorème de Dini et compacité

Soit $(E, \|\cdot\|)$ un espace vectoriel normé. On considère une partie compacte non vide $K$ de $E$ .

Soit $(L_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de parties fermées non vides de $K$ , telle que pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $L_{n+1} \subset L_n$ . Démontrer que l'intersection de tous ces fermés est non vide : $\bigcap_{n=0}^{+\infty} L_n \neq \emptyset$
Soit $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ $(f_{n})_{n \in N}$ une suite de fonctions continues de $K$ $K$ dans $\mathbb{R}$ $R$ . On suppose que pour tout $x \in K$ $x \in K$ , la suite numérique $(f_n(x))_{n \in \mathbb{N}}$ $(f_{n} (x))_{n \in N}$ est décroissante et converge simplement vers $0$ $0$ .
1. Justifier que la suite des normes infinies $(\|f_n\|_{\infty})_{n \in \mathbb{N}}$ est bien définie et qu'elle converge vers un réel $\ell \geq 0$ .
2. En utilisant le résultat de la question 1, établir que $\ell = 0$ .
Théorème de Dini. Soit $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de fonctions continues de $K$ dans $\mathbb{R}$ , monotone (croissante ou décroissante) pour chaque point $x \in K$ , et convergeant simplement vers une fonction $g$ continue sur $K$ . Démontrer que la convergence de $(f_n)$ vers $g$ est uniforme sur $K$ .

1.

Pour la question 1, construire une suite d'éléments $(x_n)$ tels que $x_n \in L_n$ et exploiter la compacité de $K$ via l'extraction d'une sous-suite convergente.

2.

Pour la question 2.(b), raisonner par l'absurde en supposant $\ell > 0$ et introduire les ensembles $L_n = \{x \in K \mid f_n(x) \geq \varepsilon\}$ .

3.

Pour la question 3, se ramener au cas d'une suite décroissante convergeant vers 0 en étudiant la suite $h_n = |f_n - g|$ .

Idées clés

•

Compacité et extraction de Bolzano-Weierstrass.

•

Lien entre continuité et ensembles de niveau fermés.

•

Passage de la convergence simple à la convergence uniforme par monotonie sur un compact.

Résolution.

Pour chaque $n \in \mathbb{N}$ , l'ensemble $L_n$ est non vide, donc on peut choisir un élément $x_n \in L_n$ . La suite $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est à valeurs dans $K$ , qui est une partie compacte de l'espace vectoriel normé $E$ . D'après la propriété de Bolzano-Weierstrass, il existe une application $\varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ strictement croissante telle que la sous-suite $(x_{\varphi(n)})_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers un élément $x \in K$ . Fixons un entier $p \in \mathbb{N}$ . Pour tout $n \geq p$ , on a $\varphi(n) \geq n \geq p$ . Par hypothèse, la suite $(L_n)$ est décroissante pour l'inclusion, donc $L_{\varphi(n)} \subset L_p$ . Comme $x_{\varphi(n)} \in L_{\varphi(n)}$ , on en déduit que : $\forall n \geq p, x_{\varphi(n)} \in L_p$ Le sous-ensemble $L_p$ est un fermé de $K$ . Par passage à la limite dans un fermé, la limite $x$ appartient à $L_p$ . Ceci étant vrai pour tout $p \in \mathbb{N}$ , on a bien : $\boxed{x \in \bigcap_{p \in \mathbb{N}} L_p \neq \emptyset}$
1. Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $f_n$ est continue sur le compact $K$ , donc $f_n$ est bornée et atteint ses bornes. La norme $\|f_n\|_{\infty} = \sup_{x \in K} |f_n(x)|$ est donc bien définie. Comme $(f_n(x))$ décroit vers 0 pour tout $x$ , on a $f_n(x) \geq f_{n+1}(x) \geq 0$ . En passant au supremum, on obtient $\|f_{n+1}\|_{\infty} \leq \|f_n\|_{\infty}$ . La suite $(\|f_n\|_{\infty})$ est décroissante et minorée par 0, donc elle converge vers un réel $\ell \geq 0$ .
2. Supposons par l'absurde que $\ell > 0$ . Alors il existe $\varepsilon > 0$ tel que $\ell \geq \varepsilon$ . Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , on pose $L_n = \{ x \in K \mid f_n(x) \geq \varepsilon \}$ . Puisque $\|f_n\|_{\infty} \geq \ell \geq \varepsilon$ , il existe des points où $f_n$ dépasse ou égale $\varepsilon$ , donc $L_n$ est non vide. De plus, $f_n$ est continue, donc $L_n = f_n^{-1}([\varepsilon, +\infty[)$ est un fermé de $K$ . Comme la suite de fonctions est décroissante, si $f_{n+1}(x) \geq \varepsilon$ , alors $f_n(x) \geq \varepsilon$ , d'où $L_{n+1} \subset L_n$ . D'après la question 1, il existe $x_{\infty} \in \bigcap_{n \in \mathbb{N}} L_n$ . Ceci implique que pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $f_n(x_{\infty}) \geq \varepsilon$ . En passant à la limite simple en $x_{\infty}$ , on obtient $0 \geq \varepsilon$ , ce qui est absurde. Ainsi : $\boxed{\ell = 0}$
Supposons que $(f_n)$ est une suite décroissante convergeant simplement vers $g$ (le cas croissant se traite en considérant $-f_n$ et $-g$ ). Posons $h_n = f_n - g$ . Puisque $f_n$ et $g$ sont continues, $h_n$ est continue sur $K$ . La décroissance de $(f_n)$ et la convergence simple vers $g$ imposent que pour tout $x \in K$ , la suite $(h_n(x))$ décroit vers 0. D'après le résultat de la question 2, on a : $\lim_{n \to +\infty} \|h_n\|_{\infty} = 0$ Ceci signifie exactement que la suite $(h_n)$ converge uniformément vers 0 sur $K$ , et donc que $(f_n)$ converge uniformément vers $g$ . $\boxed{\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \geq N, \forall x \in K, |f_n(x) - g(x)| \leq \varepsilon}$

Oublier l'hypothèse de continuité de la limite ou de compacité du domaine.

Sur un compact, la convergence simple monotone d'une suite de fonctions continues vers une limite continue est uniforme.