Caractérisation et propriétés des fonctions réglées

Soit $I = [a, b]$ un segment de $\mathbb{R}$ ( $a < b$ ). On note $\mathcal{E}(I, \mathbb{R})$ l'espace des fonctions en escalier sur $I$ . Une fonction $f : I \to \mathbb{R}$ est dite réglée si elle est limite uniforme sur $I$ d'une suite de fonctions en escalier.

Montrer que toute fonction continue par morceaux sur $I$ est réglée.
1. Soit $f : I \to \mathbb{R}$ une fonction monotone. Montrer que $f$ est réglée.
2. Proposer un exemple de fonction réglée qui n'est pas continue par morceaux.
Soit $f$ $f$ une fonction réglée sur $I$ $I$ .
1. Montrer que $f$ admet une limite finie à droite en tout point de $[a, b[$ et une limite finie à gauche en tout point de $]a, b]$ .
2. Montrer que la limite uniforme d'une suite de fonctions réglées est encore une fonction réglée.
On souhaite démontrer la réciproque du point 3.(a). On suppose que $f : I \to \mathbb{R}$ admet une limite à gauche et à droite en tout point. Soit $\varepsilon > 0$ . En utilisant la propriété de Borel-Lebesgue (de tout recouvrement d'un compact par des ouverts, on peut extraire un sous-recouvrement fini), démontrer que $f$ est à distance inférieure à $\varepsilon$ d'une fonction en escalier pour la norme de la convergence uniforme.
Expliquer brièvement comment définir l'intégrale d'une fonction réglée sur un segment $[a, b]$ .

1.

Pour la question 1, utiliser le théorème de Heine pour les fonctions continues, puis étendre par morceaux.

2.

Pour la question 2.(a), considérer une subdivision liée aux valeurs prises par la fonction pour construire une approximation en escalier.

3.

Pour la question 3.(a), utiliser le théorème d'interversion des limites (théorème de la double limite).

4.

Pour la question 4, pour chaque point $x$ , définir un voisinage ouvert sur lequel $f$ est proche de ses limites latérales, puis invoquer la compacité de $[a, b]$ .

Idées clés

•

Densité des fonctions en escalier pour la norme $\| \cdot \|_\infty$ .

•

Théorème de la double limite pour les limites latérales.

•

Propriété de Borel-Lebesgue pour passer du local au global.

•

Prolongement de l'application "intégrale" par densité.

Résolution.

Soit $f$ continue par morceaux. Par définition, il existe une subdivision $a=x_0 < \dots < x_n=b$ telle que sur chaque $]x_i, x_{i+1}[$ , $f$ est continue et prolongeable par continuité aux bornes. Notons $f_i$ le prolongement continu de $f$ sur $[x_i, x_{i+1}]$ . Par le théorème de Heine, $f_i$ est uniformément continue. Ainsi, pour tout $\varepsilon > 0$ , il existe une fonction en escalier $\sigma_i$ sur $[x_i, x_{i+1}]$ telle que $\|f_i - \sigma_i\|_\infty \leq \varepsilon$ . En recollant les $\sigma_i$ et en ajustant les valeurs aux points de la subdivision, on obtient une fonction $\sigma \in \mathcal{E}(I, \mathbb{R})$ telle que : $\boxed{\|f - \sigma\|_\infty \leq \varepsilon}$
1. Supposons $f$ croissante (le cas décroissant est analogue). Pour $n \in \mathbb{N}^*$ , on considère les valeurs $y_k = f(a) + k \frac{f(b)-f(a)}{n}$ pour $k \in \{0, \dots, n\}$ . Posons $A_k = \{ x \in I \mid y_k \leq f(x) < y_{k+1} \}$ . Par croissance, les $A_k$ sont des intervalles disjoints. On définit $\sigma_n$ valant $y_k$ sur $A_k$ (et $f(b)$ en $b$ ). $\sigma_n$ est en escalier et : $\forall x \in I, |f(x) - \sigma_n(x)| \leq \frac{f(b)-f(a)}{n}$ En choisissant $n$ assez grand, on a $\|f - \sigma_n\|_\infty \leq \varepsilon$ . Donc $f$ est réglée. $\boxed{\text{Toute fonction monotone sur } [a, b] \text{ est réglée.}}$
2. Considérons $f : [0, 1] \to \mathbb{R}$ définie par $f(x) = \frac{1}{n}$ si $x \in ]\frac{1}{n+1}, \frac{1}{n}]$ pour $n \in \mathbb{N}^*$ et $f(0)=0$ . Cette fonction est croissante, donc réglée d'après (a). Cependant, elle possède une infinité de points de discontinuité (les $1/n$ ) s'accumulant en $0$ . Elle n'est donc pas continue par morceaux.
1. Soit $f$ réglée et $(\sigma_n)$ une suite de fonctions en escalier convergeant uniformément vers $f$ . Soit $x_0 \in [a, b[$ . Pour tout $n$ , $\sigma_n$ admet une limite à droite en $x_0$ (notée $L_n$ ). Comme $(\sigma_n)$ converge uniformément, le théorème de la double limite assure que la suite $(L_n)$ converge vers une limite $L$ et que : $\boxed{\lim_{x \to x_0^+} f(x) = L}$ Le raisonnement est identique pour la limite à gauche.
2. L'ensemble des fonctions réglées est l'adhérence de $\mathcal{E}(I, \mathbb{R})$ pour la norme $\| \cdot \|_\infty$ . Comme l'adhérence d'un ensemble est fermée, la limite uniforme de fonctions réglées (donc d'éléments de l'adhérence) appartient encore à cette adhérence.
Soit $\varepsilon > 0$ . Pour tout $x \in ]a, b[$ , il existe $\eta_x > 0$ tel que : $\forall t \in ]x - \eta_x, x[, |f(t) - f(x^-)| \leq \varepsilon$ et $\forall t \in ]x, x + \eta_x[, |f(t) - f(x^+)| \leq \varepsilon$ . Les ouverts $O_x = ]x - \eta_x, x + \eta_x[$ recouvrent le compact $[a, b]$ . Par Borel-Lebesgue, on en extrait un sous-recouvrement fini $O_{x_1}, \dots, O_{x_p}$ . On construit alors une subdivision en utilisant les bornes de ces intervalles et les centres $x_i$ . Sur chaque intervalle de cette subdivision, $f$ est à distance $\varepsilon$ d'une constante (soit $f(x_i^-)$ , soit $f(x_i^+)$ , soit $f(x_i)$ ). On construit ainsi $\sigma$ en escalier telle que : $\boxed{\|f - \sigma\|_\infty \leq \varepsilon}$
L'application $\int : \mathcal{E}(I, \mathbb{R}) \to \mathbb{R}$ est une forme linéaire continue pour la norme $\| \cdot \|_\infty$ car $|\int_a^b \sigma| \leq (b-a) \|\sigma\|_\infty$ . Comme $\mathcal{E}(I, \mathbb{R})$ est dense dans l'espace des fonctions réglées $\mathcal{R}(I, \mathbb{R})$ , l'intégrale se prolonge de manière unique en une forme linéaire continue sur $\mathcal{R}(I, \mathbb{R})$ . Pour $f \in \mathcal{R}(I, \mathbb{R})$ , on pose $\int_a^b f = \lim_{n \to \infty} \int_a^b \sigma_n$ où $(\sigma_n)$ est une suite en escalier convergeant uniformément vers $f$ .

Confusion entre réglée et continue par morceaux (nombre de discontinuités).

Équivalence entre limite de fonctions en escalier et existence des limites latérales.