Ensemble de non-dérivabilité d'une fonction continue

Soit $A$ une partie dénombrable de $\mathbb{R}$ .

Démontrer qu'il existe une fonction $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ continue sur $\mathbb{R}$ telle que l'ensemble de ses points de non-dérivabilité soit exactement $A$ .

1.

Commencer par traiter le cas où $A$ est une énumération $\{a_n, n \in \mathbb{N}\}$ .

2.

Construire d'abord une fonction monotone $g$ dont l'ensemble des points de discontinuité est $A$ .

3.

Considérer une primitive de cette fonction $g$ et utiliser le lien entre la continuité d'une fonction monotone et la dérivabilité de sa primitive.

Idées clés

•

Construction par série de fonctions (sauts de discontinuité).

•

Lien entre dérivées à droite/gauche et limites à droite/gauche pour une fonction monotone.

•

Théorème de la limite de la dérivée (ou prolongement de la dérivée).

Résolution.

Construction d'une fonction auxiliaire monotone. Quitte à considérer une partie de $A$ ou à rajouter des points si $A$ est fini, on suppose $A = \{a_n, n \in \mathbb{N} \}$ . On définit pour tout $n \in \mathbb{N}$ la fonction "échelon" $u_n$ par : $u_n(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x \le a_n 1 & \text{si } x > a_n \end{cases}$ On définit alors la fonction $g$ sur $\mathbb{R}$ par la série : $g(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n} u_n(x)$ Cette série converge normalement sur $\mathbb{R}$ car pour tout $x$ , $| \frac{1}{2^n} u_n(x) | \le \frac{1}{2^n}$ , terme général d'une série géométrique convergente.
Propriétés de $g$ . Comme chaque $u_n$ est croissante, $g$ est croissante. De plus, pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $g$ admet des limites à droite et à gauche en $x$ . Par convergence normale : $g(x^+) - g(x^-) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n} (u_n(x^+) - u_n(x^-))$ Or, $u_n(x^+) - u_n(x^-) = 1$ si $x = a_n$ et $0$ sinon. Ainsi : $\boxed{ g(x^+) - g(x^-) = \sum_{n: a_n = x} \frac{1}{2^n} }$ Ce saut est strictement positif si et seulement si $x \in A$ . Donc l'ensemble des points de discontinuité de $g$ est exactement $A$ .
Construction de la fonction $f$ . Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $\boxed{ f(x) = \int_0^x g(t) dt }$ Par définition d'une intégrale à borne variable, $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ . Puisque $g$ est monotone, elle est localement intégrable. Pour tout $x \in \mathbb{R}$ , le taux d'accroissement de $f$ à droite tend vers $g(x^+)$ et à gauche vers $g(x^-)$ . En effet, pour $h > 0$ : $\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{1}{h} \int_x^{x+h} g(t) dt$ Par croissance de $g$ , on a pour $t \in ]x, x+h]$ , $g(x^+) \le g(t) \le g(x+h)$ . En intégrant, on obtient : $g(x^+) \le \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \le g(x+h)$ Par limite quand $h \to 0^+$ , on trouve $f'_d(x) = g(x^+)$ . De même, $f'_g(x) = g(x^-)$ .
Conclusion sur la dérivabilité. La fonction $f$ est dérivable en $x$ si et seulement si ses dérivées à droite et à gauche coïncident : $f'_d(x) = f'_g(x) \iff g(x^+) = g(x^-)$ Ceci est vrai si et seulement si $g$ est continue en $x$ . D'après l'étude précédente, cela équivaut à $x \notin A$ . $\boxed{ \text{L'ensemble des points de non-dérivabilité de } f \text{ est } A. }$

Utiliser une série de valeurs absolues sans gérer la dérivabilité des termes restants.

Intégrer une fonction de saut pour créer des cusps de non-dérivabilité.