Intervalle de convergence de puissances de suites

Résolution.

1. Supposons $D \neq \emptyset$. Soit $\alpha \in D$ et soit $\beta > \alpha$. Comme $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$, il existe un rang $N \in \mathbb{N}$ tel que pour tout $n \geq N$ :
   $$0 < u_n \leq 1$$
   Puisque la fonction $x \mapsto u_n^x$ est décroissante sur $\mathbb{R}$ pour $u_n \in ]0, 1]$, on a pour tout $n \geq N$ :
   $$0 < u_n^\beta \leq u_n^\alpha$$
   Par hypothèse, $\alpha \in D$, donc la série $\sum u_n^\alpha$ converge. Par le théorème de comparaison des séries à termes positifs, la série $\sum u_n^\beta$ converge également. On en déduit que :
   $$\forall \alpha \in D,   [\alpha, +\infty[ \subset D$$
   Ceci caractérise un intervalle non majoré. En posant $s = \inf D$, l'ensemble $D$ est donc soit de la forme $[s, +\infty[$, soit de la forme $]s, +\infty[$.
   $$\boxed{D \in \{ [s, +\infty[, \ ]s, +\infty[ \}}$$

2. 1. Considérons la suite $u_n = \frac{1}{\ln(n+2)}$ pour $n \geq 0$. Pour tout $\alpha > 0$, on a $u_n^\alpha = \frac{1}{(\ln(n+2))^\alpha}$. Par comparaison avec la série harmonique, on sait que pour tout $\alpha > 0$ :
      $$\frac{1}{n} = o\left( \frac{1}{(\ln n)^\alpha} \right)$$
      Comme $\sum \frac{1}{n}$ diverge, la série $\sum u_n^\alpha$ diverge pour tout $\alpha > 0$.
      $$\boxed{D = \emptyset}$$

   2. Soit $u_n = \frac{1}{n+1}$. D'après le cours sur les séries de Riemann, la série $\sum \frac{1}{(n+1)^\alpha}$ converge si et seulement si $\alpha > 1$.
      $$\boxed{D = ]1, +\infty[}$$

   3. Soit $u_n = \frac{1}{(n+2) \ln^2(n+2)}$. D'après les critères de convergence des séries de Bertrand, $\sum u_n^\alpha$ converge si : - $\alpha > 1$ (convergence évidente). - $\alpha = 1$, car l'exposant du logarithme est $2 > 1$. Si $\alpha < 1$, alors $u_n^\alpha = \frac{1}{(n+2)^\alpha (\ln(n+2))^{2\alpha}}$. Comme $\alpha < 1$, la série diverge par comparaison avec une série de Riemann.
      $$\boxed{D = [1, +\infty[}$$