Domaines de convergence des séries de Dirichlet

Pour une suite complexe $a = (a_n)_{n \geq 1}$ , on considère la série de Dirichlet $\sum \frac{a_n}{n^x}$ où $x \in \mathbb{R}$ . On définit :

$D_a = \{ x \in \mathbb{R} \mid \sum a_n n^{-x} \text{ converge} \}$
$D_{Abs} = \{ x \in \mathbb{R} \mid \sum |a_n| n^{-x} \text{ converge} \}$

Montrer l'équivalence des trois assertions suivantes :
1. $D_a$ est non vide.
2. $D_{Abs}$ est non vide.
3. Il existe $M > 0$ et $p \in \mathbb{R}$ tels que pour tout $n \geq 1$ , $|a_n| \leq M n^p$ .
Montrer que $D_a$ et $D_{Abs}$ sont soit vides, soit des intervalles non majorés.
Étudier les ensembles $D_a$ $D_{a}$ et $D_{Abs}$ $D_{A b s}$ pour les suites suivantes :
1. $a_n = 1$ pour tout $n \geq 1$ .
2. $b_n = (-1)^{n-1}$ pour tout $n \geq 1$ .
3. $c_n = \ln^2(n+1)$ pour tout $n \geq 1$ .
Fournir un exemple de suite où $D_a = \emptyset$ et un exemple où $D_{Abs} = \mathbb{R}$ .

1.

Pour (i) $\implies$ (iii), utiliser le fait que si une série converge, son terme général tend vers $0$ .

2.

Pour (iii) $\implies$ (ii), comparer avec une série de Riemann.

3.

Pour les exemples de la question 3, utiliser le critère des séries alternées pour la convergence simple.

Idées clés

•

Condition nécessaire de convergence d'une série.

•

Croissance comparée entre puissances et logarithmes.

•

Convergence absolue implique convergence simple.

Résolution.

Démontrons les implications : $(ii) \implies (i)$ : C'est immédiat car la convergence absolue d'une série implique sa convergence. $(i) \implies (iii)$ : Si $D_a \neq \emptyset$ , il existe $x_0 \in \mathbb{R}$ tel que $\sum a_n n^{-x_0}$ converge. Le terme général tend alors vers $0$ , donc il est borné : $\exists M > 0, \forall n \geq 1, \left| \frac{a_n}{n^{x_0}} \right| \leq M$ En multipliant par $n^{x_0}$ , on obtient $|a_n| \leq M n^{x_0}$ , ce qui correspond à (iii) avec $p = x_0$ . $(iii) \implies (ii)$ : Supposons $|a_n| \leq M n^p$ . Soit $x > p + 1$ . Alors : $\left| \frac{a_n}{n^x} \right| \leq \frac{M n^p}{n^x} = \frac{M}{n^{x-p}}$ Comme $x-p > 1$ , la série de Riemann $\sum \frac{1}{n^{x-p}}$ converge. Par comparaison, $\sum |a_n| n^{-x}$ converge, donc $x \in D_{Abs}$ et $D_{Abs} \neq \emptyset$ . $\boxed{(i) \iff (ii) \iff (iii)}$
Soit $x_0 \in D_a$ . Pour tout $x > x_0$ , on a $\frac{a_n}{n^x} = \frac{a_n}{n^{x_0}} \cdot \frac{1}{n^{x-x_0}}$ . La suite $(n^{-(x-x_0)})$ est décroissante et tend vers $0$ . D'après la règle d'Abel (ou une intégration par parties discrète), la série $\sum a_n n^{-x}$ converge. Ainsi, $D_a$ est un intervalle non majoré. Le raisonnement est identique pour $D_{Abs}$ par simple comparaison de termes positifs.
Analyse des cas particuliers :
1. $a_n = 1$ : $\sum n^{-x}$ est une série de Riemann. $\boxed{D_a = D_{Abs} = ]1, +\infty[}$
2. $b_n = (-1)^{n-1}$ : - $D_{Abs} = ]1, +\infty[$ (on retombe sur la série de Riemann). - Pour $D_b$ , la série $\sum \frac{(-1)^{n-1}}{n^x}$ converge pour tout $x > 0$ par le critère des séries alternées. Pour $x \leq 0$ , le terme général ne tend pas vers $0$ . $\boxed{D_b = ]0, +\infty[, D_{Abs} = ]1, +\infty[}$
3. $c_n = \ln^2(n+1)$ : Par croissance comparée, pour tout $\epsilon > 0$ , $\ln^2(n+1) = o(n^\epsilon)$ . - Si $x > 1$ , choisissons $\epsilon$ tel que $x - \epsilon > 1$ . Alors $c_n n^{-x} = o(n^{-(x-\epsilon)})$ , donc ça converge. - Si $x \leq 1$ , $c_n n^{-x} \geq n^{-1}$ pour $n$ assez grand, donc ça diverge. $\boxed{D_c = D_{Abs} = ]1, +\infty[}$
Exemples extrêmes : - Pour $D_a = \emptyset$ , il faut que $a_n$ croisse plus vite que toute puissance de $n$ . Soit $a_n = e^n$ . - Pour $D_{Abs} = \mathbb{R}$ , il faut que $|a_n|$ décroisse très vite. Soit $a_n = \frac{1}{n!}$ ou $a_n = e^{-n^2}$ .

Confondre convergence simple et absolue pour les séries alternées.

L'existence d'un point de convergence pour une série de Dirichlet équivaut à la croissance polynomiale de ses coefficients.