Étude d'une série de fonctions rationnelles

Soit $f$ la fonction définie par la série de fonctions :

f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{1+x^n}

Déterminer l'ensemble de définition de $f$ et montrer que $f$ est continue sur $]1, +\infty[$ .
Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ .
Donner un équivalent de $f(x)$ lorsque $x \to 1^+$ .

1.

Pour la continuité, étudier la convergence normale sur tout intervalle de la forme $[a, +\infty[$ avec $a > 1$ .

2.

Pour la limite en $+\infty$ , utiliser le théorème d'interversion limite-somme (justifié par la convergence normale).

3.

Pour l'équivalent en $1^+$ , comparer la somme à une intégrale ou effectuer un changement de variable dans une intégrale de comparaison du type $\int_0^{+\infty} \frac{dt}{1+x^t}$ .

Idées clés

•

Convergence normale sur les compacts pour la continuité.

•

Théorème d'interversion limite-somme.

•

Comparaison série-intégrale pour les équivalents de sommes.

1. Domaine de définition et continuité.

Pour tout $n \in \mathbb{N}$ et $x > 1$ , on a l'équivalent :

\frac{1}{1+x^n} \underset{n \to +\infty}{\sim} \left(\frac{1}{x}\right)^n

Comme $0 < 1/x < 1$ , la série géométrique $\sum (1/x)^n$ converge. Par comparaison de séries à termes positifs, la série définissant $f(x)$ converge pour tout $x > 1$ .

Soit $a > 1$ . Pour tout $x \in [a, +\infty[$ et pour tout $n \ge 1$ :

0 \le \frac{1}{1+x^n} \le \frac{1}{x^n} \le \frac{1}{a^n}

La série numérique $\sum a^{-n}$ converge car c'est une série géométrique de raison $1/a < 1$ . On en déduit que la série de fonctions $\sum \frac{1}{1+x^n}$ converge normalement sur $[a, +\infty[$ .

Chaque fonction $u_n : x \mapsto \frac{1}{1+x^n}$ est continue sur $]1, +\infty[$ . Par convergence normale sur tout intervalle $[a, +\infty[ \subset ]1, +\infty[$ , la somme $f$ est continue sur tout intervalle $[a, +\infty[$ , donc :

\boxed{f \text{ est continue sur } ]1, +\infty[}

2. Limite en $+\infty$ .

Nous avons établi la convergence normale de la série sur $[2, +\infty[$ . On peut donc appliquer le théorème d'interversion limite-somme en $+\infty$ :

\lim_{x \to +\infty} \sum_{n=0}^{+\infty} u_n(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \lim_{x \to +\infty} u_n(x)

Calculons les limites individuelles :

Pour $n = 0$ , $u_0(x) = \frac{1}{1+x^0} = \frac{1}{2}$ , donc $\lim_{x \to +\infty} u_0(x) = \frac{1}{2}$ .
Pour $n \ge 1$ , $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{1+x^n} = 0$ .

On en déduit immédiatement :

\boxed{\lim_{x \to +\infty} f(x) = \frac{1}{2}}

3. Équivalent en $1^+$ .

La fonction $t \mapsto \frac{1}{1+x^t}$ est décroissante sur $[0, +\infty[$ pour tout $x > 1$ . Par comparaison série-intégrale, nous avons l'encadrement :

\int_{0}^{+\infty} \frac{dt}{1+x^t} \le \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{1+x^n} \le \frac{1}{2} + \int_{0}^{+\infty} \frac{dt}{1+x^t}

Calculons l'intégrale $I(x) = \int_{0}^{+\infty} \frac{dt}{1+e^{t \ln x}}$ . On effectue le changement de variable $u = t \ln x$ , d'où $dt = \frac{du}{\ln x}$ :

I(x) = \frac{1}{\ln x} \int_{0}^{+\infty} \frac{du}{1+e^u}

L'intégrale converge et se calcule explicitement :

\int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-u}}{e^{-u}+1} du = \left[ -\ln(1+e^{-u}) \right]_0^{+\infty} = 0 - (-\ln 2) = \ln 2

Ainsi, $I(x) = \frac{\ln 2}{\ln x}$ . D'après l'encadrement précédent :

\frac{\ln 2}{\ln x} \le f(x) \le \frac{1}{2} + \frac{\ln 2}{\ln x}

Comme $\frac{\ln 2}{\ln x} \to +\infty$ quand $x \to 1^+$ , on en déduit $f(x) \sim \frac{\ln 2}{\ln x}$ . Enfin, comme $\ln x \sim x-1$ au voisinage de $1$ :

\boxed{f(x) \underset{x \to 1^+}{\sim} \frac{\ln 2}{x-1}}

Oublier le terme n=0 dans la limite ou l'équivalent.

La méthode de comparaison série-intégrale pour obtenir un équivalent d'une série de fonctions.