Étude d'un produit infini entier

Résolution.

1. Soit $z \in \mathbb{C}$ fixé. On considère la suite $u_n(z) = -\frac{z}{2^n}$. La série $\sum |u_n(z)| = |z| \sum \frac{1}{2^n}$ est une série géométrique convergente. D'après le cours sur les produits infinis, la convergence absolue de la série $\sum u_n(z)$ implique la convergence du produit infini $\prod (1 + u_n(z))$.
   $$\boxed{ \forall z \in \mathbb{C},   f(z) \text{ est bien défini.} }$$

2. Soit $R > 0$. On se place sur le disque fermé $K = \overline{B}(0, R)$. Pour $n$ suffisamment grand (tel que $2^n > R$), on a $\left| \frac{z}{2^n} \right| < 1$ pour tout $z \in K$. On peut alors définir :
   $$g_n(z) = \ln\left( 1 - \frac{z}{2^n} \right)$$
   Par développement limité de $\ln(1-u)$ au voisinage de 0, il existe une constante $C > 0$ telle que pour $n$ assez grand :
   $$\forall z \in K,   |g_n(z)| \le C \frac{|z|}{2^n} \le \frac{CR}{2^n}$$
   La série de fonctions $\sum g_n$ converge donc normalement, et donc uniformément, sur tout disque $K$. Comme chaque fonction $z \mapsto 1 - \frac{z}{2^n}$ est continue (et même entière), le produit partiel est continu. Par convergence uniforme sur tout compact de la série des logarithmes, l'exponentielle de la somme est continue.
   $$\boxed{ f \text{ est continue sur } \mathbb{C}. }$$

3. Écrivons les premiers termes du produit définissant $f(z)$ :
   $$f(z) = (1 - z) \prod_{n=1}^{+\infty} \left( 1 - \frac{z}{2^n} \right)$$
   Effectuons le changement d'indice $k = n-1$ dans le produit restant :
   $$\prod_{n=1}^{+\infty} \left( 1 - \frac{z}{2^n} \right) = \prod_{k=0}^{+\infty} \left( 1 - \frac{z}{2^{k+1}} \right) = \prod_{k=0}^{+\infty} \left( 1 - \frac{z/2}{2^k} \right)$$
   On reconnaît l'expression de $f$ évaluée en $z/2$.
   $$\boxed{ \forall z \in \mathbb{C},   f(z) = (1-z) f\left( \frac{z}{2} \right) }$$