Lemme de Riemann-Lebesgue et contrôles de convergence

Résolution.

1. Étude des fonctions en escalier
   1. Pour $\lambda \neq 0$, on a par intégration directe :
      $$\int_{\alpha}^{\beta} e^{i \lambda t} \mathrm{d} t = \left[ \frac{e^{i \lambda t}}{i \lambda} \right]_{\alpha}^{\beta} = \frac{e^{i \lambda \beta} - e^{i \lambda \alpha}}{i \lambda}$$

      En majorant le numérateur par l'inégalité triangulaire ($|e^{ix}| = 1$), on obtient :

      $$\left| \int_{\alpha}^{\beta} e^{i \lambda t} \mathrm{d} t \right| \leq \frac{|e^{i \lambda \beta}| + |e^{i \lambda \alpha}|}{|\lambda|} = \frac{2}{\lambda}$$

      Comme $\frac{2}{\lambda} \xrightarrow[\lambda \to +\infty]{} 0$, on a bien $\lim_{\lambda \to +\infty} \int_{\alpha}^{\beta} e^{i \lambda t} \mathrm{d} t = 0$.

   2. Soit $f$ en escalier. Il existe une subdivision $a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b$ telle que $f$ soit constante, de valeur $c_k$, sur chaque intervalle $]x_k, x_{k+1}[$. Par linéarité :
      $$I(\lambda) = \sum_{k=0}^{n-1} c_k \int_{x_k}^{x_{k+1}} e^{i \lambda t} \mathrm{d} t$$

      D'après la question précédente :

      $$|I(\lambda)| \leq \sum_{k=0}^{n-1} |c_k| \frac{2}{\lambda} = \frac{1}{\lambda} \left( 2 \sum_{k=0}^{n-1} |c_k| \right)$$

      En posant $\boxed{M_f = 2 \sum_{k=0}^{n-1} |c_k|}$, on a la majoration voulue, ce qui assure la convergence vers 0.

2. Généralisation aux fonctions continues par morceaux Soit $f$ continue par morceaux sur $[a, b]$. Soit $\varepsilon > 0$. Par densité des fonctions en escalier pour la norme $\| \cdot \|_1$ (ou par construction de l'intégrale), il existe une fonction en escalier $\varphi$ telle que :
   $$\int_{a}^{b} |f(t) - \varphi(t)| \mathrm{d} t \leq \frac{\varepsilon}{2}$$

   On décompose alors $I(\lambda)$ :

   $$I(\lambda) = \int_{a}^{b} (f(t) - \varphi(t)) e^{i \lambda t} \mathrm{d} t + \int_{a}^{b} \varphi(t) e^{i \lambda t} \mathrm{d} t$$

   Par inégalité triangulaire :

   $$|I(\lambda)| \leq \int_{a}^{b} |f(t) - \varphi(t)| \cdot |e^{i \lambda t}| \mathrm{d} t + \left| \int_{a}^{b} \varphi(t) e^{i \lambda t} \mathrm{d} t \right|$$

   Le premier terme est majoré par $\frac{\varepsilon}{2}$. Pour le second, comme $\varphi$ est en escalier, il existe $\lambda_0$ tel que pour tout $\lambda > \lambda_0$, ce terme est aussi $\leq \frac{\varepsilon}{2}$. Ainsi :

   $$\forall \lambda > \lambda_0,   |I(\lambda)| \leq \varepsilon$$

   D'où $\boxed{\lim_{\lambda \to +\infty} I(\lambda) = 0}$.

3. Alternative par la classe $\mathcal{C$^1}
   1. Si $f \in \mathcal{C}^1([a, b])$, on intègre par parties :
      $$\int_{a}^{b} f(t) e^{i \lambda t} \mathrm{d} t = \left[ f(t) \frac{e^{i \lambda t}}{i \lambda} \right]_a^b - \int_{a}^{b} f'(t) \frac{e^{i \lambda t}}{i \lambda} \mathrm{d} t$$

      D'où :

      $$|I(\lambda)| \leq \frac{|f(b)| + |f(a)|}{\lambda} + \frac{1}{\lambda} \int_{a}^{b} |f'(t)| \mathrm{d} t$$

      On pose $\boxed{K_f = |f(a)| + |f(b)| + \int_a^b |f'(t)| \mathrm{d} t}$. On a bien $|I(\lambda)| \leq \frac{K_f}{\lambda}$.

   2. On conclut par un argument de densité identique à la question 2, en utilisant le fait que $\mathcal{C}^1([a, b])$ est dense dans l'espace des fonctions continues par morceaux pour la norme $\| \cdot \|_1$.

4. Conclusion sur les fonctions trigonométriques On remarque que $\cos(nt) = \text{Re}(e^{int})$ et $\sin(nt) = \text{Im}(e^{int})$. En appliquant le résultat de la question 2 avec $\lambda = n \in \mathbb{N}$, on a :
   $$\int_{a}^{b} f(t) e^{int} \mathrm{d} t \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$$

   Comme la convergence dans $\mathbb{C}$ implique la convergence des parties réelles et imaginaires :

   $$\boxed{\lim_{n \to +\infty} \int_{a}^{b} f(t) \cos(nt) \mathrm{d} t = 0}   \text{et}   \boxed{\lim_{n \to +\infty} \int_{a}^{b} f(t) \sin(nt) \mathrm{d} t = 0}$$