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Comportement asymptotique d'une série par comparaison intégrale

série-intégraleéquivalentmonotonieCritère de comparaisonThéorème de convergence dominée

Soit f:R+→R+f : \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+ une fonction continue et croissante. On suppose que pour tout réel t>0t > 0, la fonction x↦e−tf(x)x \mapsto e^{-t f(x)} est intégrable sur [1,+∞[[1, +\infty[.

  1. Montrer que lim⁡x→+∞f(x)=+∞\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty.
  2. Justifier que pour tout t>0t > 0, la série ∑e−tf(n)\sum e^{-t f(n)} converge.
  3. Montrer que ∫0+∞e−tf(x) dx→t→0++∞\int_0^{+\infty} e^{-t f(x)}   dx \xrightarrow[t \to 0^+]{} +\infty.
  4. Établir enfin que :
    ∑n=0+∞e−tf(n)∼t→0+∫1+∞e−tf(x) dx\sum_{n = 0}^{+\infty} e^{-t f(n)} \underset{t \to 0^+}{\sim} \int_1^{+\infty} e^{-t f(x)}   dx

1.

Pour la question 1, raisonner par l'absurde en supposant que ff est majorée.

2.

Pour la question 3, utiliser la définition de la limite ou minorer l'intégrale sur un intervalle dont la borne supérieure dépend de tt.

3.

Pour la question 4, utiliser la décroissance de x↦e−tf(x)x \mapsto e^{-t f(x)} pour effectuer une comparaison série-intégrale classique.

Idées clés

•

Comparaison série-intégrale pour les fonctions décroissantes.

•

Lien entre intégrabilité et limite à l'infini pour une fonction monotone.

•

Propriété des équivalents avec des termes prépondérants.

Résolution.

  1. La fonction ff est croissante sur R+\mathbb{R}_+, donc elle admet une limite ℓ∈R∪{+∞}\ell \in \mathbb{R} \cup \{+\infty\} en +∞+\infty. Si ℓ<+∞\ell < +\infty, alors pour tout x≥0x \ge 0, f(x)≤ℓf(x) \le \ell, donc :
    ∀t>0,e−tf(x)≥e−tℓ>0\forall t > 0,   e^{-t f(x)} \ge e^{-t \ell} > 0
    L'intégrale ∫1+∞e−tf(x) dx\int_1^{+\infty} e^{-t f(x)}   dx divergerait, ce qui contredit l'énoncé. D'où :
    lim⁡x→+∞f(x)=+∞\boxed{\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty}

  2. Soit t>0t > 0. La fonction gt:x↦e−tf(x)g_t : x \mapsto e^{-t f(x)} est continue, positive et décroissante sur R+\mathbb{R}_+. Puisque gtg_t est intégrable sur [1,+∞[[1, +\infty[, le critère de comparaison série-intégrale assure la convergence de la série ∑n≥1gt(n)\sum_{n \ge 1} g_t(n). Le terme n=0n=0 ne changeant pas la nature, la série converge.

  3. Soit M>0M > 0. Puisque lim⁡x→+∞f(x)=+∞\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty, pour tout A>0A > 0, il existe x0x_0 tel que f(x)≥Af(x) \ge A pour x≥x0x \ge x_0. Cependant, pour t→0+t \to 0^+, l'intégrande tend vers 11. Fixons X>0X > 0. Par convergence simple de e−tf(x)e^{-t f(x)} vers 11 sur [0,X][0, X] et par le théorème de convergence dominée (ou simplement car la convergence est uniforme sur tout segment) :
    lim⁡t→0+∫0Xe−tf(x) dx=∫0X1 dx=X\lim_{t \to 0^+} \int_0^{X} e^{-t f(x)}   dx = \int_0^X 1   dx = X
    Puisque ceci est vrai pour tout XX, l'intégrale totale diverge :
    lim⁡t→02∫0+∞e−tf(x) dx=+∞\boxed{\lim_{t \to 0^2} \int_0^{+\infty} e^{-t f(x)}   dx = +\infty}

  4. Pour t>0t > 0, par décroissance de gtg_t :
    ∫0+∞gt(x) dx≤∑n=0+∞gt(n)≤gt(0)+∫0+∞gt(x) dx\int_0^{+\infty} g_t(x)   dx \le \sum_{n=0}^{+\infty} g_t(n) \le g_t(0) + \int_0^{+\infty} g_t(x)   dx
    En divisant par ∫0+∞gt(x) dx\int_0^{+\infty} g_t(x)   dx (qui est strictement positif et tend vers +∞+\infty) :
    1≤∑n=0+∞gt(n)∫0+∞gt(x) dx≤gt(0)∫0+∞gt(x) dx+11 \le \frac{\sum_{n=0}^{+\infty} g_t(n)}{\int_0^{+\infty} g_t(x)   dx} \le \frac{g_t(0)}{\int_0^{+\infty} g_t(x)   dx} + 1
    Comme gt(0)=e−tf(0)→1g_t(0) = e^{-t f(0)} \to 1 et l'intégrale tend vers +∞+\infty, le membre de droite tend vers 11. Par encadrement :
    ∑n=0+∞e−tf(n)∼t→0+∫0+∞e−tf(x) dx\sum_{n=0}^{+\infty} e^{-t f(n)} \underset{t \to 0^+}{\sim} \int_0^{+\infty} e^{-t f(x)}   dx
    Enfin, ∫01e−tf(x) dx\int_0^1 e^{-t f(x)}   dx est bornée par 11, donc est négligeable devant l'intégrale totale. On a bien :
    ∑n=0+∞e−tf(n)∼t→0+∫1+∞e−tf(x) dx\boxed{\sum_{n = 0}^{+\infty} e^{-t f(n)} \underset{t \to 0^+}{\sim} \int_1^{+\infty} e^{-t f(x)}   dx}

Ne pas oublier de justifier que l'intégrale tend vers l'infini.

Encadrement somme-intégrale pour les fonctions monotones.