Convergence d'une suite de fonctions rationnelles

Résolution.

1. Convergence simple : Soit $x \in [0, 1]$. Si $x = 0$, alors pour tout $n \in \mathbb{N}$ :
   $$f_n(0) = \frac{e^0}{1 + 0} = 1$$
   La suite $(f_n(0))$ est constante et égale à 1, donc elle converge vers 1. Si $x \in ]0, 1]$, on a $1 + n^2 x^2 \xrightarrow{n \to +\infty} +\infty$. Par quotient, on obtient $f_n(x) \xrightarrow{n \to +\infty} 0$. La suite $(f_n)$ converge donc simplement vers la fonction $f$ définie par :
   $$\boxed{ f(x) = \begin{cases} 1 & \text{si } x = 0$$
   0 & \text{si } x \in ]0, 1] \end{cases} }

2. Convergence uniforme sur $[a, 1]$ : Soit $a \in ]0, 1[$. Sur $[a, 1]$, la limite simple est la fonction nulle $f : x \mapsto 0$. Pour tout $x \in [a, 1]$ :
   $$|f_n(x) - f(x)| = \frac{e^{-x}}{1 + n^2 x^2}$$
   On majore le numérateur par $1$ (car $x \geq 0$) et on minore le dénominateur en utilisant $x \geq a$ :
   $$\forall x \in [a, 1],   |f_n(x)| \leq \frac{1}{1 + n^2 a^2}$$
   On note $\|f_n - f\|_{\infty, [a,1]} = \sup_{x \in [a,1]} |f_n(x)|$. On en déduit :
   $$\boxed{ 0 \leq \|f_n - f\|_{\infty, [a,1]} \leq \frac{1}{1 + n^2 a^2} }$$
   Comme $\frac{1}{1 + n^2 a^2} \xrightarrow{n \to +\infty} 0$, par le théorème des gendarmes, la suite converge uniformément vers 0 sur $[a, 1]$.

3. Convergence uniforme sur $[0, 1]$ : Supposons par l'absurde que $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $[0, 1]$. Chaque fonction $f_n$ est continue sur $[0, 1]$ (quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s'annule pas). D'après le théorème de conservation de la continuité, la limite uniforme d'une suite de fonctions continues doit être continue. Or, la fonction limite $f$ est discontinue en 0 puisque $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 \neq f(0)$. Conclusion :
   $$\boxed{ \text{La suite } (f_n) \text{ ne converge pas uniformément sur } [0, 1]. }$$