Étude d'une intégrale oscillante

Résolution.

1. La fonction $h_n : x \mapsto \frac{\sin^2(n \pi x)}{\tan(\pi x)}$ est continue sur $]0, 1/2]$. Au voisinage de 0 :
   $$\sin(n\pi x) \sim n\pi x \implies \sin^2(n\pi x) \sim n^2 \pi^2 x^2$$
   $$\tan(\pi x) \sim \pi x$$
   D'où $h_n(x) \sim \frac{n^2 \pi^2 x^2}{\pi x} = n^2 \pi x$. La fonction $h_n$ se prolonge par continuité en 0 par $h_n(0)=0$.
   $$\boxed{\text{L'intégrale } u_n \text{ est donc bien définie.}}$$

2. Utilisons la linéarisation $\sin^2(n\pi x) = \frac{1 - \cos(2n\pi x)}{2}$ :
   $$u_n = \frac{1}{2} \int_0^{1/2} \frac{1}{\tan(\pi x)} \text{d}x - \frac{1}{2} \int_0^{1/2} \frac{\cos(2n\pi x)}{\tan(\pi x)} \text{d}x$$
   La fonction $x \mapsto \frac{1}{\tan(\pi x)}$ n'est pas intégrable en 0 ($\sim \frac{1}{\pi x}$). Cependant, l'expression initiale est bien définie. Regroupons :
   $$u_n = \int_0^{1/2} \frac{1 - \cos(2n\pi x)}{2 \tan(\pi x)} \text{d}x$$
   Posons $\phi(x) = \frac{1}{2 \tan(\pi x)}$. Cette fonction n'est pas intégrable, mais la fonction $\psi_n(x) = \phi(x)(1 - \cos(2n\pi x))$ l'est. Décomposons : $\frac{1 - \cos(2n\pi x)}{\tan(\pi x)} = \frac{1 - \cos(2n\pi x)}{\pi x} \cdot \frac{\pi x}{\tan(\pi x)}$. Par le lemme de Riemann-Lebesgue (version généralisée ou en isolant la singularité), on peut montrer que la partie oscillante n'empêche pas la divergence de l'intégrale du terme constant. Reprenons : En fait, $u_n$ diverge. Vérifions $u_n \sim \int_0^{1/2} \frac{\sin^2(n\pi x)}{\pi x} dx$. Par changement de variable $y = n\pi x$ :
   $$u_n \approx \int_0^{n\pi/2} \frac{\sin^2 y}{y} \text{d}y$$
   L'intégrale $\int_1^{+\infty} \frac{\sin^2 y}{y} \text{d}y$ diverge (car $\sin^2 y = \frac{1}{2} - \frac{\cos 2y}{2}$ et $\int \frac{1}{y}$ diverge).
   $$\boxed{\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty}$$