Interversion somme-intégrale et sinus cardinal

Résolution.

1. Convergence de la série. Soit $N \in \mathbb{N}$. Considérons la somme partielle $S_N = \sum_{n=0}^N u_n$. Par linéarité de l'intégrale :
   $$S_N = \int_0^1 \left( \sum_{n=0}^N x^n \right) \sin(\pi x)   dx = \int_0^1 \frac{1 - x^{N+1}}{1 - x} \sin(\pi x)   dx$$
   Posons $f_N(x) = \frac{1 - x^{N+1}}{1 - x} \sin(\pi x)$ pour $x \in [0, 1[$. La suite de fonctions $(f_N)$ converge simplement sur $[0, 1[$ vers :
   $$f(x) = \frac{\sin(\pi x)}{1 - x}$$
2. Calcul de la somme. Appliquons le théorème de convergence dominée à la suite $(f_N)$ sur $[0, 1[$. Hypothèse 1 : Chaque $f_N$ est continue et intégrable sur $[0, 1[$. Hypothèse 2 : Convergence simple vers $f$ qui est continue sur $[0, 1[$. Hypothèse 3 (Domination) : Pour tout $x \in [0, 1[$, $|f_N(x)| \leqslant \frac{\sin(\pi x)}{1 - x}$ car $0 \leqslant 1-x^{N+1} \leqslant 1$. La fonction $f$ est intégrable sur $[0, 1[$. En effet, en $x=1$, en posant $h = 1-x$ :
   $$f(1-h) = \frac{\sin(\pi - \pi h)}{h} = \frac{\sin(\pi h)}{h} \xrightarrow[h \to 0]{} \pi$$
   Ainsi, par le TCD, la limite des intégrales est l'intégrale de la limite :
   $$\sum_{n=0}^{+\infty} u_n = \int_0^1 \frac{\sin(\pi x)}{1 - x}   dx$$
   Effectuons le changement de variable $t = \pi(1 - x)$, d'où $dt = -\pi dx$. Lorsque $x=0$, $t=\pi$. Lorsque $x=1$, $t=0$.
   $$\int_0^1 \frac{\sin(\pi x)}{1 - x}   dx = \int_{\pi}^0 \frac{\sin(\pi - t)}{t/\pi} \left( -\frac{dt}{\pi} \right) = \int_0^\pi \frac{\sin t}{t}   dt$$
   $$\boxed{ \sum_{n=0}^{+\infty} u_n = \int_0^\pi \frac{\sin t}{t}   dt }$$