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Transformée de Borel d'une série convergente

BorelIntégration terme à termeSéries entièresIntégration par partiesCroissances comparées

Soit ∑an\sum a_n une série numérique complexe dont on note Sn=∑k=0nakS_n = \sum_{k=0}^n a_k la suite des sommes partielles. On suppose que la série ∑an\sum a_n converge et on note SS sa somme. On considère la série entière définie par :

f(x)=∑n=0+∞ann!xnf(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{a_n}{n!} x^n

  1. Montrer que le rayon de convergence de cette série entière est infini.
  2. Cas de la convergence absolue : On suppose dans cette question que la série ∑an\sum a_n est absolument convergente. Montrer, à l'aide d'un théorème d'intégration terme à terme, que :
    ∫0+∞f(x)e−x dx=∑n=0+∞an\int_0^{+\infty} f(x) e^{-x}   dx = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n
  3. Cas général : On revient à l'hypothèse de convergence simple de ∑an\sum a_n. On définit g(x)=∑n=0+∞Snn!xng(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{S_n}{n!} x^n.
    1. Justifier que gg a un rayon de convergence infini et montrer que pour tout x∈Rx \in \mathbb{R}, f′(x)=g′(x)−g(x)f'(x) = g'(x) - g(x).
    2. Établir la relation : ∫0xf(u)e−u du=(g(x)−f(x))e−x\int_0^x f(u) e^{-u}   du = (g(x) - f(x)) e^{-x}.
    3. Déterminer la limite de (g(x)−f(x))e−x(g(x) - f(x)) e^{-x} quand x→+∞x \to +\infty. Conclure quant à la valeur de ∫0+∞f(x)e−x dx\int_0^{+\infty} f(x) e^{-x}   dx.

1.

Pour le rayon de convergence, utiliser le fait qu'une suite convergente est bornée.

2.

Pour l'intégration terme à terme, vérifier la convergence de la série des intégrales des valeurs absolues.

3.

Pour la question 3(a), utiliser la relation an=Sn−Sn−1a_n = S_n - S_{n-1}.

4.

Pour la limite dans le cas général, décomposer Sn=S+εnS_n = S + \varepsilon_n où εn→0\varepsilon_n \to 0 et utiliser une méthode de découpage de somme ou un argument de croissances comparées.

Idées clés

•

Lien entre série numérique et intégrale de série entière (Sommation de Borel).

•

Théorème d'intégration terme à terme pour les séries de fonctions.

•

Manipulation des sommes partielles et croissances comparées.

Résolution.

  1. Puisque la série ∑an\sum a_n converge, son terme général ana_n tend vers 0, donc la suite (an)n∈N(a_n)_{n \in \mathbb{N}} est bornée par un réel M>0M > 0. Pour tout x∈Cx \in \mathbb{C} et tout n∈Nn \in \mathbb{N}, on a :
    ∣ann!xn∣≤M∣x∣nn!\left| \frac{a_n}{n!} x^n \right| \leq M \frac{|x|^n}{n!}
    Le terme de droite est le terme général d'une série convergente (série exponentielle) pour tout xx. Par comparaison, la série définissant f(x)f(x) converge absolument sur C\mathbb{C}.
    R=+∞\boxed{R = +\infty}

  2. Posons un(x)=ann!xne−xu_n(x) = \frac{a_n}{n!} x^n e^{-x}. Chaque unu_n est continue et intégrable sur [0,+∞[[0, +\infty[. Calculons ∫0+∞∣un(x)∣ dx\int_0^{+\infty} |u_n(x)|   dx. Par le lien avec la fonction Gamma :
    ∫0+∞∣un(x)∣ dx=∣an∣n!∫0+∞xne−x dx=∣an∣n!×n!=∣an∣\int_0^{+\infty} |u_n(x)|   dx = \frac{|a_n|}{n!} \int_0^{+\infty} x^n e^{-x}   dx = \frac{|a_n|}{n!} \times n! = |a_n|
    Comme la série ∑∣an∣\sum |a_n| converge par hypothèse, le théorème d'intégration terme à terme s'applique. L'intégrale de la somme est la somme des intégrales :
    ∫0+∞∑n=0+∞un(x) dx=∑n=0+∞∫0+∞un(x) dx=∑n=0+∞an\int_0^{+\infty} \sum_{n=0}^{+\infty} u_n(x)   dx = \sum_{n=0}^{+\infty} \int_0^{+\infty} u_n(x)   dx = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n
    On obtient bien :
    ∫0+∞f(x)e−x dx=S\boxed{\int_0^{+\infty} f(x) e^{-x}   dx = S}

    1. La suite (Sn)(S_n) est convergente, donc bornée. Par le même argument qu'en question 1, le rayon de gg est infini. Pour x∈Rx \in \mathbb{R}, en dérivant terme à terme :
      g′(x)−g(x)=∑n=1+∞Sn(n−1)!xn−1−∑n=0+∞Snn!xn=∑n=0+∞Sn+1−Snn!xng'(x) - g(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{S_n}{(n-1)!} x^{n-1} - \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{S_n}{n!} x^n = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{S_{n+1} - S_n}{n!} x^n
      Comme Sn+1−Sn=an+1S_{n+1} - S_n = a_{n+1}, on a :
      g′(x)−g(x)=∑n=0+∞an+1n!xn=f′(x)g'(x) - g(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{a_{n+1}}{n!} x^n = f'(x)
      où l'on a utilisé le fait que f′(x)=∑n=1+∞an(n−1)!xn−1=∑k=0+∞ak+1k!xkf'(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{a_n}{(n-1)!} x^{n-1} = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{a_{k+1}}{k!} x^k.
      f′(x)=g′(x)−g(x)\boxed{f'(x) = g'(x) - g(x)}

    2. En multipliant par e−xe^{-x}, l'égalité précédente devient :
      f′(x)e−x=(g′(x)−g(x))e−x=ddx(g(x)e−x)f'(x) e^{-x} = (g'(x) - g(x)) e^{-x} = \frac{d}{dx} (g(x) e^{-x})
      En intégrant par parties ∫0xf(u)e−u du\int_0^x f(u) e^{-u}   du :
      ∫0xf(u)e−u du=[−f(u)e−u]0x+∫0xf′(u)e−u du\int_0^x f(u) e^{-u}   du = \left[ -f(u) e^{-u} \right]_0^x + \int_0^x f'(u) e^{-u}   du
      ∫0xf(u)e−u du=f(0)−f(x)e−x+[g(u)e−u]0x=a0−f(x)e−x+g(x)e−x−S0\int_0^x f(u) e^{-u}   du = f(0) - f(x) e^{-x} + \left[ g(u) e^{-u} \right]_0^x = a_0 - f(x) e^{-x} + g(x) e^{-x} - S_0
      Comme a0=S0a_0 = S_0, on obtient :
      ∫0xf(u)e−u du=(g(x)−f(x))e−x\boxed{\int_0^x f(u) e^{-u}   du = (g(x) - f(x)) e^{-x}}

    3. Remarquons que g(x)−f(x)=∑n=1+∞Sn−1n!xng(x) - f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{S_{n-1}}{n!} x^n. Posons Sn=S+εnS_n = S + \varepsilon_n avec εn→0\varepsilon_n \to 0.
      (g(x)−f(x))e−x=e−x∑n=1+∞S+εn−1n!xn=Se−x(ex−1)+e−x∑n=1+∞εn−1n!xn(g(x) - f(x)) e^{-x} = e^{-x} \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{S + \varepsilon_{n-1}}{n!} x^n = S e^{-x} (e^x - 1) + e^{-x} \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\varepsilon_{n-1}}{n!} x^n
      Le premier terme tend vers SS. Pour le second, notons h(x)=e−x∑n=1+∞εn−1n!xnh(x) = e^{-x} \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\varepsilon_{n-1}}{n!} x^n. Soit α>0\alpha > 0. Il existe NN tel que pour n≥Nn \geq N, ∣εn∣≤α/2|\varepsilon_n| \leq \alpha/2.
      ∣h(x)∣≤e−x∑n=1N∣εn−1∣n!xn+α2e−x∑n=N+1+∞xnn!|h(x)| \leq e^{-x} \sum_{n=1}^{N} \frac{|\varepsilon_{n-1}|}{n!} x^n + \frac{\alpha}{2} e^{-x} \sum_{n=N+1}^{+\infty} \frac{x^n}{n!}
      Le premier bloc tend vers 0 par croissances comparées, le second est majoré par α/2\alpha/2. Donc h(x)→0h(x) \to 0.
      lim⁡x→+∞∫0xf(u)e−u du=S\boxed{\lim_{x \to +\infty} \int_0^x f(u) e^{-u}   du = S}

Application de l'ITT sans convergence absolue de la série numérique.

Relation intégrale entre une série et sa série de Borel.