Série alternée et intégration sur un intervalle non borné

Résolution.

1. Continuité de $f$. Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on pose $u_n(x) = \frac{(-1)^n}{x^2 + n^2}$. Chaque fonction $u_n$ est continue sur $\mathbb{R}$. On a, pour tout $x \in \mathbb{R}$ :
   $$|u_n(x)| = \frac{1}{x^2 + n^2} \leqslant \frac{1}{n^2}$$
   Comme la série numérique $\sum \frac{1}{n^2}$ converge, la série de fonctions $\sum u_n$ converge normalement, donc uniformément, sur $\mathbb{R}$.
   $$\boxed{\text{La fonction } f \text{ est donc définie et continue sur } \mathbb{R}.}$$

2. Intégrabilité et calcul de l'intégrale. Soit $S_N(x) = \sum_{n=1}^{N} \frac{(-1)^n}{x^2 + n^2}$ la somme partielle d'ordre $N$. Pour tout $x \geqslant 0$ fixé, la suite $(\frac{1}{x^2 + n^2})_{n \geqslant 1}$ est décroissante et tend vers $0$. D'après le critère spécial des séries alternées (CSSA), la somme partielle $S_N(x)$ est comprise entre deux sommes partielles consécutives. En particulier :
   $$|S_N(x)| \leqslant |u_1(x)| = \frac{1}{x^2 + 1}$$
   Posons $\phi(x) = \frac{1}{1 + x^2}$. Cette fonction est continue et intégrable sur $\mathbb{R}_+$. Comme $S_N \xrightarrow[N \to +\infty]{cvs} f$ et que $|S_N| \leqslant \phi$, le théorème de convergence dominée s'applique sur $[0, +\infty[$. Ainsi, $f$ est intégrable sur $\mathbb{R}_+$ et on peut intervertir somme et intégrale :
   $$\int_0^{+\infty} f(x)   \mathrm{d}x = \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d}x}{x^2 + n^2}$$
   L'intégrale élémentaire donne :
   $$\int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d}x}{x^2 + n^2} = \left[ \frac{1}{n} \arctan\left(\frac{x}{n}\right) \right]_0^{+\infty} = \frac{\pi}{2n}$$
   On en déduit :
   $$\int_0^{+\infty} f(x)   \mathrm{d}x = \frac{\pi}{2} \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n}$$
   En utilisant $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} = \ln(2)$, il vient $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n} = -\ln(2)$.
   $$\boxed{\int_0^{+\infty} f(x)   \mathrm{d}x = -\frac{\pi \ln(2)}{2}}$$

3. Étude de la fonction $g$.
   1. Domaine et continuité. Soit $v_n(x) = \frac{(-1)^n}{1 + n^2 x^2}$. Si $x = 0$, $v_n(0) = (-1)^n$, la série $\sum v_n(0)$ diverge grossièrement. Si $x \neq 0$, $|v_n(x)| \sim \frac{1}{n^2 x^2}$, donc la série converge absolument.
      $$\boxed{\mathcal{D}_g = \mathbb{R}^*}$$
      Pour tout $a > 0$, sur $[a, +\infty[$, on a $\|v_n\|_\infty = \frac{1}{1 + n^2 a^2}$, ce qui assure la convergence normale sur $[a, +\infty[$ et $]-\infty, -a]$. $g$ est donc continue sur $]-\infty, 0[$ et sur $]0, +\infty[$.

   2. Équivalent à l'infini. On remarque que $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n^2} = -\left(1 - \frac{1}{2}\right) \zeta(2) = -\frac{1}{2} \frac{\pi^2}{6} = -\frac{\pi^2}{12}$. Analysons la différence :
      $$\left| g(x) - \frac{1}{x^2} \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n^2} \right| = \left| \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \left( \frac{1}{1 + n^2 x^2} - \frac{1}{n^2 x^2} \right) \right|$$
      En simplifiant le terme entre parenthèses :
      $$\frac{1}{1 + n^2 x^2} - \frac{1}{n^2 x^2} = \frac{n^2 x^2 - (1 + n^2 x^2)}{n^2 x^2(1 + n^2 x^2)} = \frac{-1}{n^2 x^2 (1 + n^2 x^2)}$$
      On majore la série par l'inégalité triangulaire :
      $$\left| g(x) - \frac{1}{x^2} \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n^2} \right| \leqslant \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2 x^2 (n^2 x^2)} = \frac{1}{x^4} \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^4}$$
      Comme $\sum \frac{1}{n^4}$ converge, le reste est un $O(1/x^4)$, ce qui est négligeable devant $1/x^2$. Ainsi, $g(x) = \frac{1}{x^2} \left( -\frac{\pi^2}{12} \right) + o\left(\frac{1}{x^2}\right)$.
      $$\boxed{g(x) \underset{x \to +\infty}{\sim} -\frac{\pi^2}{12x^2}}$$