Convergence d'une suite de fonctions avec raccordement

Pour tout entier $n \in \mathbb{N}^*$ , on définit la fonction $f_n$ sur l'intervalle $[0, 1]$ par :

f_n(x) = \begin{cases} \displaystyle \frac{2n^2 x^2-n x + 1}{2n^2x + 1}\sin^2\left(\frac{\pi}{x}\right) & \text{si } x \in \left]\frac{1}{n}, 1\right] 0 & \text{si } x \in \left[0, \frac{1}{n}\right] \end{cases}

Étudier la convergence simple, puis la convergence uniforme de la suite

(f_n)_{n \in \mathbb{N}^*}

sur

[0, 1]

.

1.

Pour la convergence simple, fixer $x \in ]0, 1]$ et considérer $n$ suffisamment grand pour que $x > 1/n$ .

2.

Pour la convergence uniforme, exprimer la différence $f_n(x) - f(x)$ sur $]1/n, 1]$ et étudier son maximum.

Idées clés

•

Étude de la limite simple point par point.

•

Majoration de l'écart $\|f_n - f\|_\infty$ pour la convergence uniforme.

•

Utilisation du comportement asymptotique des coefficients devant le sinus.

1. Étude de la convergence simple.

Soit $x \in ]0, 1]$ . Puisque $\frac{1}{n} \xrightarrow{n \to \infty} 0$ , il existe un rang $n_0$ tel que pour tout $n \ge n_0$ , on ait $x > \frac{1}{n}$ .

Pour $n \ge n_0$ , l'expression de $f_n(x)$ est :

f_n(x) = \frac{2n^2 x^2-n x + 1}{2n^2x + 1}\sin^2\left(\frac{\pi}{x}\right)

En factorisant par les termes prédominants au numérateur et au dénominateur (ceux en $n^2$ ), on obtient :

f_n(x) = \frac{2n^2 x^2 (1 - \frac{1}{2nx} + \frac{1}{2n^2x^2})}{2n^2x (1 + \frac{1}{2n^2x})}\sin^2\left(\frac{\pi}{x}\right) = x \cdot \frac{1 - \frac{1}{2nx} + \frac{1}{2n^2x^2}}{1 + \frac{1}{2n^2x}}\sin^2\left(\frac{\pi}{x}\right)

Par passage à la limite quand $n \to +\infty$ (à $x$ fixé), on trouve :

\lim_{n \to +\infty} f_n(x) = x \sin^2\left(\frac{\pi}{x}\right)

Pour $x = 0$ , on a $f_n(0) = 0$ pour tout $n$ , donc la limite est nulle.

La suite $(f_n)$ converge donc simplement sur $[0, 1]$ vers la fonction $f$ définie par :

\boxed{f(x) = \begin{cases} x\sin^2\left(\frac{\pi}{x}\right) & \text{si } x \in ]0, 1] 0 & \text{si } x = 0 \end{cases}}

2. Étude de la convergence uniforme.

Calculons l'écart $\delta_n(x) = f_n(x) - f(x)$ . Remarquons d'abord que $f$ est continue sur $[0, 1]$ car $\lim_{x \to 0} f(x) = 0$ par encadrement ( $|f(x)| \le x$ ).

Si $x \in [0, 1/n]$ , alors $f_n(x) = 0$ , d'où $|\delta_n(x)| = |f(x)| = x \sin^2(\pi/x) \le \frac{1}{n}$ .

Si $x \in ]1/n, 1]$ , on calcule :

\delta_n(x) = \left( \frac{2n^2 x^2 - nx + 1}{2n^2x + 1} - x \right) \sin^2\left(\frac{\pi}{x}\right)

Réduisons au même dénominateur le terme entre parenthèses :

\frac{2n^2 x^2 - nx + 1 - x(2n^2x + 1)}{2n^2x + 1} = \frac{2n^2 x^2 - nx + 1 - 2n^2x^2 - x}{2n^2x + 1} = \frac{1 - (n+1)x}{2n^2x + 1}

Ainsi, pour $x \in ]1/n, 1]$ :

|\delta_n(x)| = \left| \frac{1 - (n+1)x}{2n^2x + 1} \right| \sin^2\left(\frac{\pi}{x}\right) \le \frac{|1 - (n+1)x|}{2n^2x + 1}

Étudions la fonction $h_n(x) = \frac{1 - (n+1)x}{2n^2x + 1}$ sur $[1/n, 1]$ . C'est une fonction homographique. Sa dérivée est :

h_n'(x) = \frac{-(n+1)(2n^2x + 1) - 2n^2(1 - (n+1)x)}{(2n^2x + 1)^2} = \frac{-2n^2 - n - 1}{(2n^2x + 1)^2} < 0

La fonction est donc décroissante. Ses valeurs extrêmes sur $[1/n, 1]$ sont :

h_n(1/n) = \frac{1 - (1 + 1/n)}{2n + 1} = \frac{-1}{n(2n+1)}   \text{et}   h_n(1) = \frac{1 - n - 1}{2n^2 + 1} = \frac{-n}{2n^2+1}

Dans les deux cas, $|h_n(x)|$ est majoré par $\frac{n}{2n^2+1} \le \frac{1}{2n}$ .

On en déduit que pour tout $x \in [0, 1]$ , $|\delta_n(x)| \le \frac{1}{n}$ . D'où $\|\delta_n\|_\infty \le \frac{1}{n} \xrightarrow{n \to \infty} 0$ .

Conclusion :

\boxed{\text{La suite } (f_n) \text{ converge uniformément vers } f \text{ sur } [0, 1].}

Complexité apparente de l'expression cachant une convergence uniforme simple.

Étude du reste pour la convergence uniforme.