Puissances de sinus et passage à la limite sous l'intégrale

Résolution.

1. Convergence simple : Soit $x \in [0, \pi/2]$. Si $x = 0$, alors $\sin(0) = 0$, donc pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $f_n(0) = 0^{1/n} = 0$. La limite est donc $0$. Si $x \in ]0, \pi/2]$, alors $\sin x \in ]0, 1]$. On peut écrire $f_n(x) = \exp\left( \frac{1}{n} \ln(\sin x) \right)$. Puisque $\sin x > 0$, $\ln(\sin x)$ est une constante réelle. Ainsi, $\frac{1}{n} \ln(\sin x) \xrightarrow{n \to \infty} 0$, et par continuité de l'exponentielle :
   $$\lim_{n \to +\infty} f_n(x) = e^0 = 1$$
   Bilan : La suite $(f_n)$ converge simplement sur $[0, \pi/2]$ vers la fonction $f$ définie par :
   $$\boxed{f(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x = 0$$
   1 & \text{si } x \in ]0, \pi/2] \end{cases}}

2. Convergence uniforme : Chaque fonction $f_n$ est continue sur l'intervalle $[0, \pi/2]$ comme composée de fonctions continues. Or, la fonction limite $f$ n'est pas continue en 0 car :
   $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1 \neq f(0)$$
   D'après le théorème de continuité, si la convergence était uniforme, la limite $f$ serait continue. Conclusion :
   $$\boxed{\text{La convergence n'est pas uniforme sur } [0, \pi/2].}$$

3. Calcul de la limite de l'intégrale : Cherchons à appliquer le théorème de convergence dominée sur l'intervalle $I = [0, \pi/2]$.
   • Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $f_n$ est continue (donc continue par morceaux) sur $I$.
   • La suite $(f_n)$ converge simplement vers $f$, qui est continue par morceaux sur $I$.
   • Hypothèse de domination : Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ et tout $x \in [0, \pi/2]$, on a :
     $$|f_n(x)| = |(\sin x)^{1/n}| \le 1$$
     La fonction constante égale à $1$ est intégrable sur le segment $[0, \pi/2]$.
   D'après le théorème de convergence dominée, on peut intervertir limite et intégrale :
   $$\lim_{n \to +\infty} u_n = \int_0^{\pi/2} f(x)   dx = \int_0^{\pi/2} 1   dx$$
   Finalement :
   $$\boxed{\lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{\pi}{2}}$$