Convergence de produits de fonctions dilatées

Soient $f$ et $g$ deux fonctions réelles définies et continues sur $\mathbb{R}_+$ . On suppose que ces deux fonctions s'annulent en $0$ et à l'infini :

\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0   \text{et}   \lim_{x \to 0} g(x) = \lim_{x \to +\infty} g(x) = 0

On définit pour tout entier naturel $n \in \mathbb{N}^*$ les fonctions suivantes sur $\mathbb{R}_+$ :

f_n(x) = f(nx),   g_n(x) = g\left(\frac{x}{n}\right)   \text{et}   h_n(x) = f_n(x)g_n(x)

Étudier la convergence simple et la convergence uniforme sur $\mathbb{R}_+$ des suites de fonctions $(f_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ , $(g_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ et $(h_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ .

1.

Pour la convergence simple, étudier séparément le cas $x=0$ et le cas $x > 0$ .

2.

Pour la convergence uniforme de $f_n$ et $g_n$ , utiliser un changement de variable dans la norme infinie pour montrer qu'elle est constante.

3.

Pour $h_n$ , utiliser le fait que $f$ est petite au voisinage de $+\infty$ et $g$ est petite au voisinage de $0$ . Découper l'étude selon la position de $x/n$ par rapport à un certain seuil $\alpha > 0$ .

Idées clés

•

Invariance de la norme infinie par dilatation.

•

Découpage de domaine (" $\varepsilon/2$ ") pour compenser les comportements asymptotiques opposés.

•

Bornitude des fonctions continues tendant vers $0$ à l'infini.

Résolution.

Étude de la suite $(f_n)$ :
Soit $x \in \mathbb{R}_+$ . Si $x=0$ , $f_n(0) = f(0) = 0$ . Si $x > 0$ , alors $nx \xrightarrow{n \to +\infty} +\infty$ , donc $f(nx) \xrightarrow{n \to +\infty} 0$ par hypothèse.

$\boxed{ (f_n) \text{ converge simplement vers la fonction nulle sur } \mathbb{R}_+ }$
Pour la convergence uniforme, on observe que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ :
$\sup_{x \in \mathbb{R}_+} |f_n(x)| = \sup_{x \in \mathbb{R}_+} |f(nx)|$
En posant le changement de variable $u = nx$ , on parcourt toujours $\mathbb{R}_+$ . Ainsi :
$\|f_n\|_\infty = \|f\|_\infty$
La convergence est uniforme si et seulement si $\|f_n - 0\|_\infty \to 0$ , ce qui impose $\|f\|_\infty = 0$ .
$\boxed{ (f_n) \text{ converge uniformément si et seulement si } f = 0 }$
Étude de la suite $(g_n)$ :
Pour tout $x \in \mathbb{R}_+$ , $\frac{x}{n} \xrightarrow{n \to +\infty} 0$ . Comme $g$ est continue en $0$ et $g(0)=0$ , on a :
$\lim_{n \to +\infty} g_n(x) = g(0) = 0$
De même que pour $f_n$ , le changement de variable $v = x/n$ montre que $\|g_n\|_\infty = \|g\|_\infty$ .
$\boxed{ (g_n) \text{ converge simplement vers } 0 \text{, et uniformément ssi } g = 0 }$
Étude de la suite $(h_n)$ :
La convergence simple vers $0$ est immédiate par produit des limites simples. Étudions la convergence uniforme. Soit $\varepsilon > 0$ .
Comme $f$ et $g$ sont continues sur $\mathbb{R}_+$ et tendent vers $0$ en $+\infty$ , elles sont bornées. Notons $M_f = \|f\|_\infty$ et $M_g = \|g\|_\infty$ . Si l'une des deux est nulle, le résultat est trivial.
Par hypothèse sur les limites : - Il existe $\alpha > 0$ tel que pour tout $t \in [0, \alpha]$ , $|g(t)| \leq \frac{\varepsilon}{M_f + 1}$ . - Il existe $A > 0$ tel que pour tout $t \ge A$ , $|f(t)| \leq \frac{\varepsilon}{M_g + 1}$ .
Choisissons $N \in \mathbb{N}^*$ tel que $N \geq \sqrt{A/\alpha}$ . Soient $n \geq N$ et $x \in \mathbb{R}_+$ . On distingue deux cas selon la position de $x$ :
Cas 1 : $x/n \leq \alpha$ . On majore $|f_n(x)|$ par $M_f$ . Alors :
$|h_n(x)| = |f(nx)| \cdot |g(x/n)| \leq M_f \cdot \frac{\varepsilon}{M_f + 1} \leq \varepsilon$
Cas 2 : $x/n > \alpha$ . On a alors $x > n\alpha$ . On en déduit que :
$nx > n^2 \alpha \geq N^2 \alpha \geq \frac{A}{\alpha} \alpha = A$
Comme $nx \geq A$ , on a par définition de $A$ : $|f(nx)| \leq \frac{\varepsilon}{M_g + 1}$ . On majore $|g_n(x)|$ par $M_g$ :
$|h_n(x)| = |f(nx)| \cdot |g(x/n)| \leq \frac{\varepsilon}{M_g + 1} \cdot M_g \leq \varepsilon$
Dans tous les cas, pour $n \geq N$ , $\|h_n\|_\infty \leq \varepsilon$ .
$\boxed{ (h_n) \text{ converge uniformément vers la fonction nulle sur } \mathbb{R}_+ }$

Conclure à la convergence uniforme du produit sans justifier le découpage.

Technique de découpage de domaine pour les produits de fonctions dilatées.