Théorème d'Arzelà-Ascoli sur un segment

Soit $E = \mathcal{C}([0,1], \mathbb{R})$ muni de la norme de la convergence uniforme $\|\cdot\|_{\infty}$ . On considère une partie $H \subset E$ satisfaisant les deux conditions suivantes :

(i) Bornée ponctuellement : $\forall x \in [0,1], \{h(x) \mid h \in H\}$ est une partie bornée de $\mathbb{R}$ .
(ii) Équicontinuité : $\forall \varepsilon > 0, \exists \eta > 0$ tel que $\forall h \in H, \forall (x,y) \in [0,1]^2$ : $|x-y| < \eta \implies |h(x) - h(y)| < \varepsilon$

Soit $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite d'éléments de $H$ .

En utilisant un procédé diagonal, démontrer qu'il existe une sous-suite $(g_n) = (f_{\varphi(n)})$ qui converge simplement sur $\mathbb{Q} \cap [0,1]$ .
Soit $g : \mathbb{Q} \cap [0,1] \to \mathbb{R}$ $g : Q \cap [0, 1] \to R$ la limite simple de la suite $(g_n)$ $(g_{n})$ sur les rationnels.
1. Établir que $g$ est uniformément continue sur $\mathbb{Q} \cap [0,1]$ .
2. En déduire que $g$ admet un unique prolongement continu $G$ à l'intervalle $[0,1]$ .
Prouver que la suite de fonctions $(g_n)$ converge uniformément vers $G$ sur $[0,1]$ .
En déduire que l'adhérence $\bar{H}$ est une partie compacte de $(E, \|\cdot\|_{\infty})$ .
Indiquer comment généraliser ce résultat au cas de fonctions continues définies sur un espace métrique compact quelconque à valeurs réelles.

1.

Pour la question 1, on ordonnera $\mathbb{Q} \cap [0,1]$ sous forme de suite $(r_k)_{k \in \mathbb{N}}$ et on effectuera des extractions successives.

2.

Pour la question 2, utiliser le module d'équicontinuité global de la famille $H$ .

3.

Pour la question 3, utiliser le caractère compact de $[0,1]$ pour recouvrir le segment par un nombre fini d'intervalles bien choisis (méthode des $\varepsilon/3$ ).

4.

Pour la question 5, la séparabilité des espaces métriques compacts est la clé.

Idées clés

•

Procédé diagonal de Cantor pour la convergence sur un ensemble dénombrable.

•

Prolongement des applications uniformément continues par densité.

•

Utilisation de la précompacité (recouvrement fini par des boules) pour passer du local au global.

Résolution.

Soit $(r_k)_{k \in \mathbb{N}}$ une énumération des rationnels de $[0,1]$ . D'après l'hypothèse (i), la suite réelle $(f_n(r_0))_{n \in \mathbb{N}}$ est bornée. Par le théorème de Bolzano-Weierstrass, il existe une première extraction $\phi_0$ telle que $(f_{\phi_0(n)}(r_0))$ converge. Par récurrence, supposons $\phi_0, \dots, \phi_k$ construites. La suite $(f_{\phi_0 \circ \dots \circ \phi_k \circ \phi_{k+1}(n)}(r_{k+1}))$ converge par le même argument. On définit alors la suite diagonale $\psi(n) = \phi_0 \circ \dots \circ \phi_n(n)$ . Pour tout rationnel $r_k$ fixé, la suite $(f_{\psi(n)}(r_k))_{n \geq k}$ est une suite extraite d'une suite convergente, donc : $\boxed{\text{La suite } (g_n) = (f_{\psi(n)}) \text{ converge simplement sur } \mathbb{Q} \cap [0,1].}$
1. Soit $\varepsilon > 0$ . Par équicontinuité de $H$ , il existe $\eta > 0$ tel que pour tous $x, y \in [0,1]$ avec $|x-y| < \eta$ : $\forall n \in \mathbb{N}, |g_n(x) - g_n(y)| \leq \varepsilon$ En passant à la limite quand $n \to +\infty$ pour $x, y \in \mathbb{Q} \cap [0,1]$ , on obtient : $|x-y| < \eta \implies |g(x) - g(y)| \leq \varepsilon$ Ce qui prouve que $g$ est uniformément continue sur $\mathbb{Q} \cap [0,1]$ .
2. Puisque $\mathbb{Q} \cap [0,1]$ est dense dans $[0,1]$ et que $\mathbb{R}$ est complet, le théorème de prolongement des fonctions uniformément continues assure l'existence d'un unique prolongement continu $G$ à $[0,1]$ . $\boxed{G(x) = \lim_{r \to x, r \in \mathbb{Q}} g(r)}$
Soit $\varepsilon > 0$ . Par équicontinuité de $H$ et continuité de $G$ sur le compact $[0,1]$ , il existe $\eta > 0$ tel que : $|x-y| < \eta \implies \forall n, |g_n(x) - g_n(y)| < \frac{\varepsilon}{3} \text{et} |G(x) - G(y)| < \frac{\varepsilon}{3}$ On recouvre $[0,1]$ par un nombre fini d'intervalles $I_j = ]r_j - \eta, r_j + \eta[$ où $r_j \in \mathbb{Q} \cap [0,1]$ . Comme $(g_n)$ converge vers $G$ en chaque $r_j$ , il existe $N$ tel que pour $n \geq N$ : $\forall j \in \{1, \dots, p\}, |g_n(r_j) - G(r_j)| < \frac{\varepsilon}{3}$ Pour $x \in [0,1]$ , il existe $j$ tel que $|x - r_j| < \eta$ . On écrit : $|g_n(x) - G(x)| \leq |g_n(x) - g_n(r_j)| + |g_n(r_j) - G(r_j)| + |G(r_j) - G(x)|$ Par construction, chaque terme est inférieur à $\varepsilon/3$ . Ainsi : $\forall n \geq N, \|g_n - G\|_{\infty} \leq \varepsilon$ $\boxed{(g_n) \text{ converge uniformément vers } G \text{ sur } [0,1].}$
Toute suite $(h_n)$ de $\bar{H}$ peut être approchée par une suite $(f_n)$ de $H$ . L'extraction diagonale fournit une sous-suite de $(f_n)$ convergeant uniformément vers $F$ . Par l'inégalité triangulaire, la sous-suite correspondante de $(h_n)$ converge aussi vers $F$ . Comme $F \in \bar{H}$ par définition de l'adhérence, $\bar{H}$ est séquentiellement compact. $\boxed{\bar{H} \text{ est un compact de } (E, \|\cdot\|_{\infty}).}$
Pour un espace métrique compact $X$ , le résultat reste valable. L'étape clé est de montrer que $X$ est séparable (il possède une partie dénombrable dense). On construit cette partie en prenant, pour chaque $k \in \mathbb{N}^*$ , un recouvrement fini de $X$ par des boules de rayon $1/k$ . L'union de ces centres est dénombrable et dense, ce qui permet d'amorcer le procédé diagonal.

Confondre la continuité de chaque fonction avec l'équicontinuite de la famille.

Le théorème d'Arzelà-Ascoli est l'outil fondamental pour extraire des sous-suites convergentes dans les espaces de fonctions.