Équation fonctionnelle et séries de fonctions

Résolution.

1. Montrons par récurrence la propriété $\mathcal{P}_n : \forall x \in [0,1], \ |g_n(x)| \leq \frac{x^n}{n!}$. Pour $n=0$, $g_0(x)=1$ et $\frac{x^0}{0!} = 1$, donc $\mathcal{P}_0$ est vérifiée. Supposons $\mathcal{P}_n$ vraie pour un rang $n \in \mathbb{N}$. Pour $x \in [0,1]$, on a :
   $$|g_{n+1}(x)| \leq \int_{0}^{x} |g_n(t-t^2)|   \mathrm{d}t$$
   Puisque $t \in [0,1]$, on a $0 \leq t-t^2 \leq t \leq 1$. Par l'hypothèse de récurrence :
   $$|g_n(t-t^2)| \leq \frac{(t-t^2)^n}{n!} \leq \frac{t^n}{n!}$$
   En intégrant cette inégalité sur $[0,x]$, il vient :
   $$|g_{n+1}(x)| \leq \int_{0}^{x} \frac{t^n}{n!}   \mathrm{d}t = \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}$$
   La propriété $\mathcal{P}_{n+1}$ est donc démontrée. Par principe de récurrence, elle est vraie pour tout $n$. On en déduit la majoration de la norme infinie sur $[0,1]$ :
   $$\forall n \in \mathbb{N},   \|g_n\|_{\infty} \leq \frac{1}{n!}$$
   La série numérique $\sum \frac{1}{n!}$ converge (vers $e$). Par comparaison, la série de fonctions $\sum g_n$ converge normalement sur $[0,1]$.
   $$\boxed{\sum g_n \text{ converge normalement sur } [0,1]}$$

2. 1. Existence : Comme chaque $g_n$ est continue (par construction intégrale) et que la série converge normalement (donc uniformément), $h$ est continue sur $[0,1]$. Exploitons la convergence normale pour intervertir somme et intégrale :
      $$\forall x \in [0,1],   \int_{0}^{x} h(t-t^2)   \mathrm{d}t = \int_{0}^{x} \sum_{n=0}^{+\infty} g_n(t-t^2)   \mathrm{d}t = \sum_{n=0}^{+\infty} \int_{0}^{x} g_n(t-t^2)   \mathrm{d}t$$
      Par définition de $g_{n+1}$, on obtient :
      $$\int_{0}^{x} h(t-t^2)   \mathrm{d}t = \sum_{n=0}^{+\infty} g_{n+1}(x) = \left( \sum_{k=0}^{+\infty} g_k(x) \right) - g_0(x) = h(x) - 1$$
      On en déduit que :
      $$\boxed{h(x) = 1 + \int_{0}^{x} h(t-t^2)   \mathrm{d}t}$$
      Puisque $t \mapsto h(t-t^2)$ est continue sur $[0,1]$, le théorème fondamental de l'analyse assure que $h$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[0,1]$. En dérivant, on trouve $h'(x) = h(x-x^2)$ et en évaluant en 0, $h(0) = 1 + 0 = 1$. Unicité : Soient $h_1$ et $h_2$ deux solutions. Posons $u = h_1 - h_2$. Alors $u$ est $\mathcal{C}^1$ et vérifie :
      $$u(0) = 0   \text{et}   u'(x) = u(x-x^2)$$
      En intégrant, $u(x) = \int_{0}^{x} u(t-t^2)   \mathrm{d}t$. Montrons par récurrence que pour tout $n$, $|u(x)| \leq \|u\|_{\infty} \frac{x^n}{n!}$. L'initialisation est triviale ($|u(x)| \leq \|u\|_{\infty}$). L'hérédité suit exactement le même calcul qu'à la question 1. On en déduit que pour tout $n$, $\|u\|_{\infty} \leq \frac{\|u\|_{\infty}}{n!}$. En faisant tendre $n$ vers $+\infty$, on obtient $\|u\|_{\infty} = 0$, soit $u = 0$.
      $$\boxed{h \text{ est l'unique solution } \mathcal{C}^1}$$

   2. La continuité de $h$ découle de la convergence uniforme (induite par la convergence normale) de la série de fonctions continues $g_n$ sur le segment $[0,1]$. Comme montré précédemment, $h$ est bien définie car la série converge absolument en tout point de $[0,1]$.