Théorème de Whitney dans le cas réel

L'objectif de cet exercice est de démontrer que tout sous-ensemble fermé de $\mathbb{R}$ peut être vu comme l'ensemble des zéros d'une fonction de classe $\mathcal{C}^\infty$ .

Soit $F$ un ensemble fermé non vide de $\mathbb{R}$ . Construire une fonction $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ continue telle que $F = \{ x \in \mathbb{R} \mid f(x) = 0 \}$ .
Soit $a, b \in \mathbb{R}$ tels que $a < b$ . Montrer qu'il existe une fonction $\psi : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ de classe $\mathcal{C}^\infty$ telle que : $\forall x \in \mathbb{R}, \psi(x) = 0 \iff x \in \mathbb{R} \setminus ]a, b[$
En utilisant un résultat de structure sur les ouverts de $\mathbb{R}$ et une série de fonctions, généraliser le résultat précédent : pour tout fermé $F \subset \mathbb{R}$ , il existe une fonction $g$ de classe $\mathcal{C}^\infty$ telle que $F = g^{-1}(\{0\})$ .

1.

Pour la question 1, on pourra considérer la fonction distance à l'ensemble $F$ , définie par $d(x, F) = \inf_{y \in F} |x - y|$ .

2.

Pour la question 2, on commencera par construire une fonction $\mathcal{C}^\infty$ nulle sur $]-\infty, 0]$ et strictement positive sur $]0, +\infty[$ , comme $x \mapsto \exp(-1/x^2)$ .

3.

Pour la question 3, on rappelle que tout ouvert de $\mathbb{R}$ est une réunion dénombrable d'intervalles ouverts. On pourra construire une série $\sum \alpha_n \psi_n$ en choisissant les coefficients $\alpha_n$ de sorte à assurer la convergence normale de la série et de toutes ses dérivées.

Idées clés

•

Caractérisation séquentielle de la distance à un fermé.

•

Prolongement de classe $\mathcal{C}^\infty$ par des fonctions à décroissance rapide (exponentielle).

•

Théorème de dérivation des séries de fonctions (convergence normale des dérivées).

Résolution.

Considérons la fonction distance au fermé $F$ définie par : $\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = d(x, F) = \inf_{y \in F} |x - y|$
La fonction $f$ est $1$ -lipschitzienne par l'inégalité triangulaire inverse, donc elle est continue sur $\mathbb{R}$ . De plus, comme $F$ est fermé, on a l'équivalence :
$d(x, F) = 0 \iff x \in \overline{F} = F$ Ainsi, on a bien construit une fonction continue telle que : $\boxed{F = f^{-1}(\{0\})}$
Étape 1 : Construction d'une fonction élémentaire. Soit $h$ la fonction définie par $h(x) = e^{-1/x^2}$ si $x > 0$ et $h(x) = 0$ si $x \leq 0$ . On montre classiquement par récurrence que $h$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$ , ses dérivées en $0$ étant toutes nulles. Étape 2 : Construction de $\psi$ . On définit la fonction $\psi$ par : $\forall x \in \mathbb{R}, \psi(x) = h(x - a) \times h(b - x)$ Par produit de fonctions de classe $\mathcal{C}^\infty$ , $\psi$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ . Analysons ses zéros : $\psi(x) > 0$ si et seulement si $h(x-a) > 0$ et $h(b-x) > 0$ , ce qui équivaut à $x-a > 0$ et $b-x > 0$ , soit $x \in ]a, b[$ . Par passage au complémentaire : $\boxed{\psi(x) = 0 \iff x \in \mathbb{R} \setminus ]a, b[}$
Soit $F$ un fermé de $\mathbb{R}$ . Si $F = \mathbb{R}$ , la fonction nulle convient. Sinon, l'ensemble $\Omega = \mathbb{R} \setminus F$ est un ouvert non vide. D'après la structure des ouverts de $\mathbb{R}$ , $\Omega$ peut s'écrire comme une réunion dénombrable d'intervalles ouverts bornés : $\Omega = \bigcup_{n=1}^{+\infty} I_n \text{avec} I_n = ]a_n, b_n[$ Pour chaque $n \in \mathbb{N}^*$ , on dispose d'après la question précédente d'une fonction $\psi_n$ de classe $\mathcal{C}^\infty$ telle que $\psi_n > 0$ sur $I_n$ et $\psi_n = 0$ ailleurs. Comme $\psi_n$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ et s'annule en dehors d'un segment, toutes ses dérivées sont bornées. On note : $M_{n,k} = \sup_{x \in \mathbb{R}} |\psi_n^{(k)}(x)|$ On définit alors la suite $(\alpha_n)_{n \geq 1}$ par : $\alpha_n = \frac{1}{n^2 \max(1, \max_{0 \leq k \leq n} M_{n,k})}$ Considérons la série de fonctions $g = \sum_{n=1}^{+\infty} \alpha_n \psi_n$ . Convergence et régularité : Soit $k \in \mathbb{N}$ fixé. Pour tout $n \geq k$ , on a par construction : $\alpha_n M_{n,k} \leq \frac{1}{n^2}$ La série des dérivées d'ordre $k$ , $\sum \alpha_n \psi_n^{(k)}$ , converge donc normalement (et donc uniformément) sur $\mathbb{R}$ puisque la série numérique $\sum \frac{1}{n^2}$ converge. D'après le théorème de dérivation des séries de fonctions, $g$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$ . Étude du lieu d'annulation : Comme tous les termes $\alpha_n \psi_n$ sont positifs ou nuls : $g(x) = 0 \iff \forall n \in \mathbb{N}^*, \alpha_n \psi_n(x) = 0 \iff \forall n \in \mathbb{N}^*, x \notin I_n$ Ce qui revient à dire : $x \notin \bigcup_{n=1}^{+\infty} I_n \iff x \notin \Omega \iff x \in F$ On a donc bien trouvé $g \in \mathcal{C}^\infty(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ telle que : $\boxed{g^{-1}(\{0\}) = F} \qedhere$

Oublier de contrôler la croissance des dérivées successives pour assurer la régularité de la somme.

Tout fermé de R est l'ensemble des zéros d'une fonction lisse.